一个由曲面z＝√x^2+y^2与z=h h>0围成的漏斗盛满液体，漏斗内任意一点m(x,y

一个由曲面z＝√x^2+y^2与z=h h>0围成的漏斗盛满液体，漏斗内任意一点m(x,y,z)处液体的密度为p=(x,y,z)=1/a^2+x^2+y^2,a>0求漏斗的液体质量m

边界是一个倒置的圆锥面。顶点原点O，上底z=h。注意，密度函数是1/（a²+x²+y²），
m=∫∫∫dV/（a²+x²+y²）
设r²=x²+y²，上底半径=h，母线倾角45°。
截取r~r+dr之间的圆环柱体，柱体的下端高度=r，上端高度=h，柱体的高度=（h-r），密度=1/（a²+r²），得：
m=∫（0，h）[2πrdr（h-r）/（a²+r²）]
=2π∫（0，h）[（hr-r²）/（a²+r²）]dr
=πh∫（0，h）[2r/（a²+r²）]dr-2π∫（0，h）[(a²+r²-a²）/（a²+r²）]dr
=πh[ln（a²+r²）]（0，h）-2π∫（0，h）[1-a²/（a²+r²）]dr
=πh[ln（a²+h²）-lna²]-2π[r]（0，h）+2πa∫（0，h）[(1/a)/（1+(r/a)²）]dr
=πh[ln（a²+h²）-lna²]-2πh+2πa[arctan(r/a)]（0，h）

=πh[ln（a²+h²）-lna²]-2πh+2πaarctan(h/a)