已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边三角形．（

已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴上端点为B，△BF1F2为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点F2的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△F1 PQ面积的最大值为6，求椭圆C的方程．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题得BF2=2OF2，即a=2c，
∴e＝
1
2 …（4分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ方程：x=ty+c，
联立







x＝ty+c
b2x2+a2y2＝a2b2 ，
得（a2+b2t2）y2+2b2cty-b4=0，
∴y1+y2＝?
2b2ct
a2+b2t2 ，y1y2＝?
b4
a2+b2t2 …（7分）S＝
1
2 ?2c?|y1?y2|＝c




4b4c2t2
(a2+b2t2)2 +
4b4
a2+b2t2 ＝
2ab2c



1+t2
a2+b2t2 ，
令u＝



1+t2 ≥1，S＝
2ab2cu
a2+b2(u2?1) ＝
2ab2c

c2
u +b2u ≤
2ab2c
a2 ＝b2，
其中等号成立时u=1，
∴b2=6，a2=8，
∴椭圆C的方程为
x2
8 +
y2
16 ＝1．…（12分）

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