导数和零点问题，分类讨论时，如何判断有多少零点

导数和零点问题，分类讨论时，如何判断有多少零点

一般常见的零点的证明都是存在性的，如果要确定个数的话：
（1）利用单调性，严格单调函数仅有一个零点。
（2）利用罗尔定理反证，若f至多2个零点，此时f的导数至多有一个零点，我们可以假设f有3个零点，用两次罗尔定理，我们会得到f导函数有两个零点，这是矛盾的，所以显然假设不成立

因为f′（1）=-1，所以曲线c：y=f（x）在点p（1，1）处的切线l为y=-x+2． 若切线l与曲线c只有一个公共点，则方程1/2m（x-1）^2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根． 显然x=1是该方程的一个根． 令g（x）=1/2m（x-1）^2-x+1+lnx，则g′(x)=m(x-1)-1+1/x=m(x-1)(x-1/m)/x． 当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意． 当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=1/m，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值． 所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→-∞，所以函数g（x）在（0，1/m）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意． 综上，存在实数m，当m=1时，曲线c：y=f（x）在点p（1，1）处的切线l与c有且只有一个公共点