求函数的值域的方法?

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求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则 t 0 x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
三、练习：
1 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：
2
∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)，
∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0，
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3 求函数的值域
① ； ②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4
在此区间内 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
作业：求函数y= 值域
解：∵ ，
∴函数的定义域R，原式可化为 ,
整理得 ，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y 1,∵ R，即有 0，
∴ ,解得 且 y 1.
综上：函数是值域是{y| }.

关于函数的值域（最值）的解决方法，有很多文章介绍了，如判别式法，实根分布法等，判别式法历来不能完全解决这个函数的值域（最值）问题，实根分布法比较复杂。我们应用函数的性质，可以完整解决分式函数的值域问题。 下面对和先讨论函数的性质。 性质1 若，函数在区间和区间是单调增函数；在区间 和区间是单调减函数。 性质1的证明从略。 性质2 若，函数在区间和区间上都是增函数。 性质2的证明从略。 例1 分别求函数在指定区间上的值域 （1） （2） （3） 解：（1）利用均值不等式， ， 当时，， 所以，函数的值域是。 （2）由（1）的解答过程，因为，所以均值不等式就失去了作用。我们可以用函数的单调性解决这个问题。 因为函数在区间上是增函数，当时，，所以，函数的值域是。 （3）把区间分割成两部分：和，由性质1知，函数在区间和上分别是减函数、增函数， 那么这个函数在两个区间上的值域分别是和， 所以函数在区间上的值域是。 例2 求下列函数的值域 （1） （2） 解：（1）用部分分式法，，就化归为例1（1）的情形。 （2）用换元法把分母上的式子转换为一个单项式。 设，则，代入函数得 ,其中，当即时，函数取最小值。所以，原函数的值域为 例3 求函数的值域。 解：因为① 设其中，且， 那么，且 把 代入①式，得 如果 如果 当时， 从而 当时，且 从而或 所以，原函数的值域是 例4 求函数的值域。 解： 设代入原函数得 由于 所以 例5 求函数的值域。 解： 因为，函数是增函数， 原函数的值域是

其没有固定的方法和模式。但常用方法有： （1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围； （2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如f（x）=af^（x） bf（x） c的函数的值域问题，均可使用配方法 （3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx d/ax b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 （4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax b±根号cx d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！ （1）y=4-根号3 2x-x^ 此题就得用配方法:由3 2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^ 4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x 根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^ t 1=-(t-1/2)^ 5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x 5 用分离常数法 ∵y=-1/2 7/2/2x 5, 7/2/2x 5≠0, ∴y≠-1/2

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。