如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC，将三角形ABP绕点B顺时针旋转到三角形CBP'的位置。若PA=2，PB=4，∠APB=135°求三角形P'PB的周长和PC的长

如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC，将三角形ABP绕点B顺时针旋转到三角形CBP'的位置。若PA=2，PB=4，∠APB=135°求三角形P'PB的周长和PC的长

1、
(1)扫过区域是个以a为半径，圆心角为90度的扇形，所以面积是πa^2/4。
(2)由已知，P'B=PB=4，P'C=2，且∠PBP'=90，所以∠PP'B=45，PP'=4√2；又因为∠BP'C=135，所以∠PP'C=90。
那么根据勾股定理，PC=√(32+4)=6。

2、
证明：仍将△PAB绕点B顺时针旋转90度到△P'CB的位置。
容易知道，∠PBP'=90，
所以PP'^2
=PB^2+P'B^2
=2PB^2
=P'C^2+PC^2。
根据勾股定理的逆定理，∠PCP'=90。
因此∠PAB+∠PCB=90。
但是当P点处于△ABC内部时，容易证明∠PAB+∠PCB<90；
但是当P点处于△ABC外部（△ADC内部）时，容易证明∠PAB+∠PCB>90；
因此P点一定处于AC边上，即证。