已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex（e为自然对数的底数）．（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（2）是否

已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex（e为自然对数的底数）．（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在R上是单调增函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

（1）若a=-1，则f′（x）=（x2+x-2）ex，
由f′（x）=（x2+x-2）ex＞0，解得x＞1或x＜-2，即函数的增区间为（-∞，-2）与（1，+∞），
由f′（x）=（x2+x-2）ex＜0，解得-2＜x＜1，即函数的减区间为（-2，1）；
（2）∵f′（x）=[x2+（a+2）x+2a]ex，由f′（x）≥0?x2+（a+2）x+2a≥0对于x∈R恒成立，
则△=（a+2）2-8a≤0?（a-2）2≤0，
又（a-2）2≥0，∴a=2

（1）解：由题意a＞0，f′（x）=ex-a， 由f′（x）=ex-a=0，得x=lna． 当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0． ∴f（x）的单调递减区间为（-∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）． （2）解：由（1）知，当x=lna时，f（x）取得极小值，也为最小值， 其最小值为g（a）=f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1． 由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1． ∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， ∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0． 因此g（a）取得最大值时，a=1． （3）证明：由（2）知，当a=1时，对任意实数x均有f（x）≥g（1）=0，即ex-x-1≥0，即1+x≤ex． 令x=- k n （n∈n*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1- k n ≤e- k n ， ∴(1- k n )n≤(e- k n )n=e-k， ∴( 1 n )n+( 2 n )n+…+( n-1 n )n+( n n )n≤e-（n-1）+e-（n-2）+…+e-2+e-1+1= 1-e-n 1-e-1 ＜ 1 1-e-1 = e e-1 ．