a√(1-b2)+b√(1-a2)=1 求证： a2+b2=1

有初中阶段的证明方法吗？

a√(1-b²)+b√(1-a²)
≤(a²+1-b²)/2+(b²+1-a²)/2=1
由已知，等号成立。
由均值不等式，
等号成立的条件是
a=√(1-b²), b=√(1-a²)
所以a²+b²=1

(a√1-b² + b√1-a²)*(a√1-b² - b√1-a²) = a²(1-b²) - b²(1-a²) = a²-b² 因为a√1-b² + b√1-a² = 1 所以a√1-b² - b√1-a² = a²-b² 相加得2a√1-b² = (a²-b²+1) 所以4a²(1-b²) = a^4+b^4+1-2a²b²-2b²+2a² 化简得a^4+b^4+1+2a²b²-2b²-2a² = 0 也就是(a²+b²-1)² = 0 所以a²+b² = 1

(a-b)^2>=0

a^2+b^2-2ab>=0

a^2+b^2>=2ab

2(a^2+b^2)>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2=1

a^2+b^2>=1/2

由题意：-1﹤a＜1,-1＜b﹤1，所以可设a=sinα,b=sinβ，已知条件为 sinαcosβ+sinβcosα=1 ∴sin(α+β)=1 ∴α+β=2kπ+π/2 ∴sinα=cosβ ∴a²＋b²=sin²α+sin²β=cos²β+sin²β=1