课本上有 所有初等函数在他们任何定义区间内是连续的，但初等函数在定义域内不一定连续。

课本上有 所有初等函数在他们任何定义区间内是连续的，但初等函数在定义域内不一定连续。

怎么说呢？
初等函数在他们任何定义区间内是连续的。
但是不代表初等函数的定义域是连续的。
对于y=√（cosx-1）来说，其间断的缘故是定义域不连续。它不存在任何定义域区间，它的每个定义域区间都是一个单独的点。所以也可以说这个函数不是在定义域内不连续，而是因为定义域不连续而不连续的。

那么什么叫定义域内不连续呢？
比方说分段函数
f（x）=1，（x≥0）；-1（x＜0）
这个函数的定义域是全体实数，是个连续的区间，x=0是其定义域范围内，x=0的某个邻域也是其定义域范围内，但是这个函数在x=0处不连续。这就是真真正正的定义域内不连续。x=0点的邻域内有定义，但是在x=0点处不连续。

定义域内连续，是需要把定义域不连续导致的不连续除开的。追问就是说书本上这句话成立的条件是函数定义域要连续？追答当然，例如初等函数f（x）=1/x，在x=0处不连续，但是不影响初等函数在定义域内连续的性质，因为这是定义域不连续导致的。
简单的讲，初等函数这个性质，使得我们做初等函数题目时，只需要考虑是不是在定义域内，定义域是不是连续，就行了。
但是做非初等函数时，就算是在定义域内，对于某些点，还需要根据连续的定义去证明一下是不是连续。