已知ab是偶数,求证：可以找到两个整数c,d使得a^2+b^2+c^2=d^2.

已知ab是偶数,求证：可以找到两个整数c,d使得a^2+b^2+c^2=d^2.

一个整数能表示为两个完全平方数之差的充要条件是其除以4的余数不等于2.
由ab为偶数, a, b为两个偶数或一奇一偶, 从而a²+b²被4整除或除以4余1.
因此存在整数c, d使a²+b²+c² = d².

也可以具体构造如下:
1) 当a, b均为偶数, 取d = (a²+b²)/4+1, c = (a²+b²)/4-1,
则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².
2) 当a, b一奇一偶, 取d = (a²+b²+1)/2, c = (a²+b²-1)/2,
则c, d均为整数, 且d²-c² = a²+b².

mn=（a^2+b^2）（c^2+d^2）=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2=（a^2*c^2+b^2*d^2+2abcd）+（a^2*d^2+b^2*c^2-2abcd）=（ac+bd）^2+（ad-bc）^2 因为a.b.c.d为整数， 所以ac+bd、ad-bc为整数 因此，mn可以表示成两个整数的平方和

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)^2=a^2+b^2+(√2ab)^2 因ab是偶数 则a+b是整数 √2ab=2√(ab/2) 若√(ab/2)为整数c 则ab=2*c^2 所以当ab为倍数关系(a=2b或者b=2a)时 求证成立.反之,求证不成立