高一数学等差数列的例题

高一数学等差数列的例题

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．

(2)“倒数法”转化为类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．
若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．

类型五
递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)… (n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)??nan,则bn+1= (n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2??1??a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．

总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．

类型一?归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
?例1?设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)
解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．
??由于an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．
??因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略．

类型二?“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
例2?已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．
(2003年全国数学卷文科第19题)
证明：由已知得an-an-1=3n-1，故
an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3??n-2?+…+3+1=3n-1/2．
所以得证．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a??n?/an-1?=f(n－1)?，?且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
例3?(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另解：将(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n?=1,2,3,…)化简，得(n+1)an+1=nan，即
an+1/an=n/(n+1)．?
故an=an/an-1??an-1/an-2??an-2/an-3??…??a2/a1?=n-1/n??n-2/n-1??n-3/n-2?? … ??1/2?=1/n．

类型三?构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
例4?(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)
另解：由an=3n-1+an-1得3??an/3n=an-1/3n-1+1．
令bn＝an/3n，则有
bn=1/3bn-1+1/3． (*)
设bn+x=1/3(bn-1+x)，则bn=1/3bn-1+1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1 /2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6??(1/3)n-1，即 an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
例5?数列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．?
解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，则
an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较，得

3x=3， 所以
x=1,
3y-x=1， y=(2/3)．
故数列｛an+n+(2/3)｝是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)??4n-1,即
an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．
另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1- an+1=4(an-an-1+1)，因此数列｛an+1-an+1｝是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法” 求得其通项an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．

类型四?可转化为
类型三求通项
(1)“对数法”转化为
类型三．
递推式为an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为
类型三．
例6?已知数列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．
解：由an+1=an2＞0，两边取对数得lgan+1=2lgan．令bn=lgan则bn+1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．
(2)“倒数法”转化为
类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为
类型三．
若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．
例7?在数列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项an．
解：设an+1+x=y(an+x)/an+3，则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得

y-x=3, 所以
x=1,
y-3=1， y=4，
则有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，则bn+1=4bn/bn+2，求倒数得1/bn+1=1/2??1/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列．
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an． 数列的递推式求数列的通项公式
1、形如an+1=pan+q的递推式：
当p=1时数列为等差数列；当q=0,p≠0时数列为等比数列；
当p≠1,p≠0,q≠0时，
令an+1－t=p(an－t),整理得an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q，有(1－p)t=q∴t=q/(1－p),从而an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕, ∴数列﹛an－q/(1－p)﹜是首项为a1－q/(1－p)，公比为q的等比数列。故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+ q/(1－p)
2、形如an+1= pan +f(n)的递推式：
将上式两边同除以pn+1,得an+1/ pn+1=an/ pn+f(n)/ pn+1,
令bn= an/ pn,则bn+1=bn+ f(n)/ pn+1，由此可求出bn，从而求出an
3、形如an+1=pan+qa n－1（n≥2）的递推式：
1°若p+q=1时，p=1－q,则an+1=(1－q)an+qa n－1,即an+1－an=(an－a n－1)(-q)，知﹛an－a n－1﹜为等比数列，公比为-q，首项为a2－a 1 ，从而an+1－an=(a2－a 1)(-q) n－1，用叠加法就可求出an
2°若p+q≠1时，存在x1、x2满足an+1－x1an= x2 (an－x1a n－1)，整理得an+1=（x1+x2）an+ x1 x2a n－1 ，有x1+x2=p，-x1x2=q，把x1、x2看做一元二次方程x2－px－q=0的两个根，容易求出x1、x2 ，从而数列﹛an+1－x1an﹜是等比数列，可得an+1－x1an= x2 n－1 (a2－x1a 1)①或an+1－x2an= x1 n－1(an－x1a n－1)②，当x1≠x2 时，由①②联立可解得an ；当x1=x2时，转化成以上类型的递推式，可求出an

已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列． 说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．