设n为正整数,试说明整式n3+11n的值是6的倍数
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解决时间 2021-03-09 05:44
- 提问者网友:太高姿态
- 2021-03-08 11:22
设n为正整数,试说明整式n3+11n的值是6的倍数
最佳答案
- 五星知识达人网友:野味小生
- 2021-03-08 12:50
先证能被2整除,
当N为偶数时,
偶数+偶数=偶数
当N为奇数时,
奇数+奇数=偶数
所以能被二整除
再证能被3整除
n^3+11n=n(n^2+11)
所以当N为3倍数时可以被3整除
当N为3K+1型数时
n^2+11=9k^2+6k+12=3*(3k^2+2k+4)
当N为3K+2型数时
n^2+11=9k^2+12k+15=3*(3k^2+4k+5)
均能被3整除,
所以这个数能被3整除
当N为偶数时,
偶数+偶数=偶数
当N为奇数时,
奇数+奇数=偶数
所以能被二整除
再证能被3整除
n^3+11n=n(n^2+11)
所以当N为3倍数时可以被3整除
当N为3K+1型数时
n^2+11=9k^2+6k+12=3*(3k^2+2k+4)
当N为3K+2型数时
n^2+11=9k^2+12k+15=3*(3k^2+4k+5)
均能被3整除,
所以这个数能被3整除
全部回答
- 1楼网友:孤独的牧羊人
- 2021-03-08 13:51
用数学归纳法证明如下
1. 当n=1时,n^3+11n=1+11=12,能被6整除
2. 设当n=k(k>=1),k^3+11n能被6整除
3. 当n=k+1时,(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k=1+11k+11=(k^3+11k)+3(k^2+k+4)
即证明 3(n^2+n+4)能被6整除,即证明(n^2+n+4)能被2整除
1. 当n=1,n^2+n+4=1+1+4=6,能被2整除
2. 设当n=k(k>=1),k^2+k+4能被2整除
3. 当n=k+1时,(k+1)^2+(k+1)+4=k^+3k+6=(k^2+k+4)+2(k+1)能被2整除
所以(n^2+n+4)能被2整除
所以n^3+11n能被6整除
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