十字交叉法是什么原理

十字交叉法是什么原理

十字交叉法的数学原理与化学计算
张新勇
摘要：十字交叉法是中学化学计算中常用的一种方法，但如果使用不当也容易产生错误。本文从数学角度对十字交叉法的原理进行研究，并探索了它在化学计算中的一些具体应用。
关键词：十字交叉法  数学原理  二元混和体系  化学计算 
一、前言
在中学化学教学中，十字交叉法一直作为化学计算中的一种重要方法被广泛使用，十字交叉法具有计算速度快、计算不易出差错等优点。但我在教学实践和教学活动中，发现按传统的思维方法进行教学存在以下问题：
（1）学生用十字叉法时带有盲目性，处理较复杂的问题时易产生错误，但对错误产生的原因不甚了解，以致造成由于害怕错误而不敢使用该方法。
（2）不少中学化学老师也并未掌握该法的原理，讲授此法时只是简单地告诉学生哪些题型可用十字交叉法求解，不但限制了该法的使用，也束缚了学生的思维。
（3）某些参考书在介绍该法时存在一些谬误，如某参考书在总结十字交叉法的运用时，未指明溶液的体积变化可以忽略，就将混合溶液的物质的量浓度与原溶液的体积比列入应用范畴。
分析造成以上问题的原因，我认为主要是对十字交叉法的数学原理缺乏清晰的认识。本文将就十字交叉法的数学原理以及在中学化学计算中的应用作一些探索。
二、十字交叉法的数学原理
对于两个量a、b，其平均值A可由以下方程组确定：

a x1 + b x2 = A x1 + x2 = 1

(1)

若a、b、A已知，则有：    

a    │b-A│----x1    A b    │A-a│----x2

上面的式子可以用如下的格式表示： 
 
由此可见，凡是能建立（1）式这样的方程组的化学题，就能用十字交叉法求解。
    三、十字交叉法的物理意义
在二元混合体系中，某个物理量R只有两个可能取值a、b；且a出现的几率为x₁，b出现的几率为x₂，则物理量R的平均值A有：A=ax₁+bx₂。而物理量R出现的总几率为1即x₁+ x₂=1。用下面的实例具体说明之。
例1 平均摩尔质量为12g/mol的H₂和O₂的混和气体，求此混和气体中H₂和O₂的物质的量之比。

2g/mol x1+32g/mol x2=12g/mol×1mol x1+ x2=1mol

解析：设混和气体中H₂的物质的量为x₁，O₂的物质的量为x₂，混和气体的总物质的量为1mol。列方程组：

H2   2    20    12 O2  32    10

（2）

 

用十字交叉法求解： 
 
 
所以：    即H₂和O₂的物质的量之比为2 ：1
对于方程组（2） 中x₁、x₂及十字交叉式中数字2、32、12的物理意义是什么，到此为止可能还不是很明晰。我们不妨对例1再作一次假设：设混和气体中H₂的物质的量为y₁，O₂的物质的量为y₂，混和气体的总物质的量为2mol。显然，可以列出这样一个方程组：
 
 

（3）

 

 

H2   4    40    24 O2  64    20

用十字交叉法求解：

 
  即H₂和O₂的物质的量之比为2 ：1
比较方程组（2）（3），方程组（2）中的x₁、x₂及十字交叉式中数字2、32、12的物理意义就很明确了。x₁和x₂分别表示：以一定量（方程组（2）中为1mol；方程组（3）中为2mol）H₂和O₂的混和体系为基准物，组分1（H₂）和组分2（O₂）出现的几率；数字2、32、12表示：在一定量基准物质中，对于某个物理量R（方程组（2）、（3）中均为质量），纯组分1和纯组分2以及混和体系的值。因此只要按此思路能建立起方程组（1）的化学体系，都能用十字交叉法求解。
值得一提的是，一定量的基准物质和物理量R应满足可加性，即应遵循算术加法（从方程组（1）的表达式即可看出）。这一点对于十字交叉法应用非常重要，很多参考书上的错误就是由于不注意这一点而产生的。如同种溶质的不同物质的量浓度的溶液混合时，由于溶液的体积不具有可加性，即V₁+V₂≠V。因此不能建立上述方程组，所以有关溶液的物质的量浓度，溶液的密度等涉及溶液体积的问题，不能直接用十字交叉法求解。当然，如果只是进行近似计算，题意特别说明溶液的体积变化可以忽略不计的话，那么溶液的体积就具有可加性了，就可以应用十字交叉法解这类题目。
四、十字交叉法应注意的问题
（1）二元混和体系如何理解：十字交叉法研究的二元混和体系是指两个不同物质的混和体系或同一物质两个部分的混和体系。我们用组分1和组分2分别表示二元混和体系的两个物质（或两个部分）
（2）二个分量和平均量怎样确定：以在一定量（物质的量、质量等具有可加性的物理量）的二元混和体系中，对于某个具有可加性的物理量，纯组分1、纯组分2以及混和体系的值来确定二个分量和平均量。
（3）谁比谁：二元混和体系产生的二个分量与平均量之间通过十字交叉所得的值，是组分1和组分2在二元混和体系中的百分比
（4）是什么比：一定量基准物质以什么样的物理单位为前提，得出的即是什么比。
（5）应用十字交叉法关键的步骤是：选择以怎么物质作为组分1、组分2以及选择混和体系的什么物理量作为分析的依据。因此在应用十字叉法时，一般将一定量的组分1、组分2写在十字交叉式的左边，将作为分析依据的物理量写在十字交叉式的上面，以提高解题的正确性。
五、十字交叉法的应用
1、有关溶液的稀释、蒸发、溶质质量分数等的应用
例2  把100克10％NaNO₃溶液浓度变为20％，需加多少克NaNO₃？或蒸发多少克水？或与多少克30％的NaNO₃溶液混和？
解析：①题意可以理解为：将100克10％的NaNO₃溶液与NaNO₃固体混和，得到20％的NaNO₃混和体系。以100g混和体系为基准物，以溶质的质量为物理量，用十字交叉法：    

溶质的质量(g) 10%NaNO3溶液   10    80 100g    20 NaNO3    100    10

 

    即m(NaNO₃)=12.5克
 
②题意可以理解为：将20％的NaNO₃溶液与水混和，得到100克10％的NaNO₃混和体系。以100g混和体系为基准物，以溶质的质量为物理量，用十字交叉法：

溶质的质量(g) 20%NaNO3溶液   20    10 100g    10 水    0    10

 

    又因为  m(20%NaNO₃溶液)+m(水)=100g    所以：m(水)=50g
③题意可以理解为：将100克10％的NaNO₃溶液与30％的NaNO₃溶液混和，得到20％的NaNO₃混和体系。以100g混和体系为基准物，以溶质的质量为物理量，用十字交叉法：

溶质的质量(g) 10%NaNO3溶液   10    10 100g    20 30%NaNO3溶液   30    10

 
 

    即m(30%NaNO₃溶液)=100克
2、有关同位素相对原子质量、元素相对原子质量的应用
例3   已知氯元素的相对原子质量为35.5，它有 和 两种同位素，求 在自然界中所占原子的质量分数是多少？

质量(g)    35    1.5 1mol    35.5      37    0.5

解析：以1mol 和 的混和体系为基准物，以质量为物理量，用十字交叉法：

 
 
 

所以 在自然界中所占原子的质量分数为：
3、有关物质的相对原子质量、平均相对原子质量的应用
例4  已知Na₂SO₃被部分氧化为Na₂SO₄后，钠元素的质量分数占混和物的36％，则Na₂SO₃和Na₂SO₄的物质的量之比为多少？质量之比为多少？
解析：①首先求混和物的平均相对原子质量：
然后以1molNa₂SO₃和Na₂SO₄的混和体系为基准物，以质量为物理量，用十字交叉法：

质量(g) Na2SO3  126    14.2 1mol    127.8 Na2SO4  142    1.8

 
 

所以，
②以1gNa₂SO₃和Na₂SO₄的混和体系为基准物，以Na元素的质量为物理量，用十字交叉法：    Na元素的质量(g)

Na2SO3      - 1g    Na2SO4      -

 
 
 
 
   
    所以，Na₂SO₃和Na₂SO₄的质量比为（ - ） ：（ - ）=
4、有关反应中消耗量、生成量计算的应用
例5  将18.5克铁、铝的混和物与足量的稀H₂SO₄反应，产生氢气的质量是1克，求混和物中铁、铝的质量比？
解析：以1mol由铁产生的H₂和由铝产生的H₂组成的混和体系为基准物，以所消耗的金属的质量为物理量，则该物理量的值分别是：在纯组分1（由铁产生的H₂）中的值为56克；在纯组分2（由铝产生的H₂）中的值为18克；在混和体系（由铁、铝产生的H₂）中的值为37克。用十字交叉法： 

消耗金属的质量(g) 由铁产生的H2   56    19 1mol    37 由铝产生的H2   18    19

    Fe生成的H₂与Al生成的H₂的物质的量之比为19 ：19即1 ：1
所以，    
值得一提的是，如果不注意到本题是以由铁产生的H₂和由铝产生的H₂（同一个物质的两个部分）作为二元混和体系的二个组分的话，十字交叉法得到的19 ：19很容易被误认为是Fe、Al的物质的量之比或质量之比而导致错误。
为了进一步理解十字交叉法，我们不妨换个角度，用另外一种方法来解例题5
方法二：以18.5克铁、铝的混和体系为基准物，以产生的H₂的质量为物理量，则物理量的值分别是：在纯组分1（铁）中的值是0.66克（18.5克铁产生0.66克氢气）；在纯组分2（铝）中的值是2.06克（18.5克铝产生2.06克氢气）；在混和体系中的值是1克。用十字交叉法：

产生氢气的质量(g) 铁   0.66    1.06 18.5g    1 铝   2.06    0.34

 

    所以，
例题6   已知白磷和氧气可发生如下反应：P₄ +3O₂ = P₄O₆ ，P₄ +5O₂ = P₄O₁₀ 在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P₄O₁₀ 与P₄O₆ 的物质的量之比是多少？
解析：以1mol生成P₄O₁₀的P₄和生成P₄O₆的P₄组成的混和体系为基准物质，以消耗的O原子的物质的量为物理量，应用十字交叉法：。显然，1molP₄全部生成P₄O₁₀时消耗O原子的物质的量为10mol；1molP₄反应全部生成P₄O₆，消耗O原子的物质的量为6mol；而题意中生成二者混合物，平均消耗O原子的物质的量为：

消耗O原子的物质的量(mol) 生成P4O10的P4   10    3 1mol    9 生成P4O6的P4    6    1

 
 

生成P₄O₁₀所消耗的P₄与生成P₄O₆所消耗的P₄的物质的量之比为3 ：1
所以，得到的P₄O₁₀ 与P₄O₆ 的物质的量之比3 ：1
5、有关多元混和体系的问题
十字交叉法只适用于二元混和体系，但某些多元混和体系具有特殊性，可以转化为二元混和体系，从而应用十字交叉法求解。
例7  丁烷、甲烷、乙醛的混和气体在同温同压下和CO₂的密度相同，则三种气体的体积比为（    ）
A.5:1:2    B.1:2:5    C.4:2:7    D.2:1:5
解析：混和气体为三元混和体系，但其中乙醛的相对分子质量与CO₂相同，无论乙醛取何种体积比，对混合气体与CO₂的密度比没有影响。所以要使混和气体密度与CO₂相同，取决于甲烷和丁烷的体积比，转化为二元体系的问题。以1mol丁烷和甲烷的混和体系为基准物，以质量为物理量，用十字交叉法：
 
 

质量(g) 丁烷  58    28 1mol    44 甲烷  16    14

 
 
 

所以，正确选项为C，D
6、十字交叉法的逆向应用
所谓逆向应用，是指用十字交叉法反求a、b、A的值，此法能使一些难度大的化学计算题简捷地求解。
例8  由单烯烃和炔烃两种气态烃组成的混和气体，此混和气体1体积充分燃烧后产生3.6体积CO₂和3体积水蒸气。以上体积均为同温同压下测定。求混和气体的组成。
解析：简单推导可知1mol混和气体中平均含有3.6molC原子和6molH原子，故混和气体的平均分子式为C_3.6H₆。
设两种气态烃的分子式分别为C_nH_2n和C_mH_2m-2（2≤n≤4, 2≤m≤4）

C原子的物质的量(mol) CnH2n  n    m-3.6 1mol    3.6 CmH2m-2  m    3.6-n

H原子的物质的量(mol) CnH2n    2n    2m-8 1mol    6 CmH2m-2  2m-2    6-2n

以1mol烯烃和炔烃的混和体系为基准物，分别以C原子、H原子的物质的量为物理量，用十字交叉法：

 
 
     因为两烃只有一种确定的物质的量比，所以：
    化简得：    
进行讨论：
m=2   n=6    不合理  
m=3   n=4.5   不合理
m=4   n=3    合理
将m=4,n=3代入十字交叉式，得炔烃与烯烃的物质的量比为3 ：2
结论：混和气体组成为C₄H₆占60％，C₃H₆占40％。

字母与数字乘法的逆用

这是利用化合价书写物质化学式的方法，它适用于两种元素或两种基团组成的化合物。其根据的原理是化合价法则：正价总数与负价总数的代数和为0或正价总数与负价总数的绝对值相等

因式分解~

十字交叉法专题

十字交叉法可适用于解两种整体的混合的相关试题，基本原理如下： 混合前 整体一，数量x，指标量a 整体二，数量y，指标量b（a>b） 混合后 整体，数量（x+y），指标量c 可得到如下关系式： x×a+y×b=（x+y）c 推出： x×（a-c）=y×（c-b） 得到公式： （a-c）：（c-b）=y：x 则任意知道x、y、a、b、c中的四个，可以求出未知量。不过，求ｃ的话，直接计算更为简单。当知道x+y时，x或y任意知道一个也可采用此法；知道ｘ：ｙ也可以。