已知椭圆中心在坐标原点，一条准线方程为x=1，过椭圆左焦点F且倾斜角为45度的直线L 交椭圆于A.B两点求(1)

已知椭圆中心在坐标原点，一条准线方程为x=1，过椭圆左焦点F且倾斜角为45度的直线L 交椭圆于A.B两点
求(1) 设M为AB的中点，当OM的倾斜率=-1/3时，求椭圆的方程？；
（2)当A.B分别位于第一第三象限时，求椭圆焦距的取值范围？

（2）由题意，直线AB方程为y=x+c，椭圆方程为(x²/c)+(y²/(c-c²))=1，(0 列方程组，消去y，在所得的关于x的方程中，
由二次项系数不为0，两根之积小于0，可得c的取值范围（0,1/2）∪（2, ＋∞），
又0

解：设椭圆的方程为    x２/a２+y２/b２=1…………………①

    由题意得直线l过点f，故其方程为    y=x-c   …………②

由①②联立得方程：

    （a２+b２）x２—2a２x + a２c２—a２b２=0……………③

   （a２+b２）y２—2b２y + b２c２—a２b２=0…………… ④

设直线l与椭圆的交点分别为为a（x1,y1）b（x2,y2），其中点为m（x1+x2，y1+y2）（如图所示）

则由③④得    x1+x2 =      2a２/(a２+b２)

    y1+y2= — 2b２/(a２+b２)

故直线om的斜率为k=(y1+y2)/(x1+x2 )= — b２/a２

（2）由椭圆的一条准线的方程为x=4得a２/c=4⑤

如上图所示，过点m作水平直线mn交a于点n

则    角a 为∠oma

    由直线l的斜率为1得∠amn=45°

设∠omn=b

tana=tan(b+45°)=(1+tanb)/(1-tanb)=7

解得tanb=3/4

而k=tan∠omp=-tanb=-3/4

故有- b２/a２=-3/4⑥

且由椭圆的性质得a２=b２+c２⑦

联立⑤⑥⑦得

    a２=4

    b２=3

故椭圆的方程为

    x２/4+y２/3=1