问两道关于高二选修2-1命题的关系的数学题

第一 ： 设0<a,b,c<1 求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不同时大于1/4

第二 ： 已知p：x^2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x^2+4(m-2)x+1=0无实根，若p、q一真一假，求m的取值范围

1.(1-a)a<=[(1-a+a)/2]^2=1/4(取等1-a=a,a=1/2)
同理(1-b)b<=1/4，(1-c)c<=1/4
(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a=[(1-a)a][(1-b)b][(1-c)c]<=(1/4)*(1/4)*(1/4)
所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于1/4

2.由p得：m^2-4>0且m>0从而得到m>2
由q得：[4(m-2)]^2-4*4<0从而得m<3或者m>1

①p且q为假，则p和q都为假或者有一个为假
②p或q为真，则p和q都为真或者一个为真
由①和②得p和q是一真一假
当p为真时，q一定为真，不符合题意
当q为真，p为假时，则m<3，符合题意
所以m<3

反证法： 假设以上三式同时大于1/4 则abc(1-a)(1-b)(1-c)>1/64 ----- ① 设0<x<1,则x(1-x)<=[(x+1-x)/2]^2=1/4 (均值不等式) 所以a(1-a)<=1/4,b(1-b)<=1/4,c(1-c)<=1/4 继而abc(1-a)(1-b)(1-c)<=1/64 与①式矛盾 所以假设不成立 因此（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不同时大于1/4

2

根据跟的判别式计算

m≥3 或 1<m≤2