类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方

类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方

利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6======以下答案可供参考======供参考答案1:1平方+2平方+3平方+4平方+...+n平方 = n(n+1)(2n+1)/6供参考答案2:这可以算是一个公式，应该记住的，推导过程如下：(n+1)³=n³+3n²+3n+1 n³=(n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1 (n-1) ³=(n-2)³+3(n-2)²+3(n-2)+1 。 。 2³=1³+3.1²+3.1+1 1³=1把这些等式相加得：(n+1)³=3∑n²+3∑n+(n+1)∑n=n(n+1)/2这个没问题吧，化简就可以得到∑n²=n(n+1)(2n+1)/6PS：利用(n+1)^4=n^4+4n³+6n²+4n+1可以推导出∑n³=n²(n+1)²/4 当然这里要用到∑n²其实用这个方法可以推出任意的∑n^k，只要提前知道：∑n^(k-1),∑n^(k-2),∑n^(k-3)……,∑n²,∑n就可以了，只是计算量会越来越大，一般记住∑n³以下的就可以了，再高阶的一般只会要你用数学归纳法验证而已。供参考答案3:n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] 利用立方差公式

谢谢了