将函数f（x）=1x

因为f(x)＝
1
x2+4x+3＝
1
(x+1)(x+3)＝
1
2(1+x)?
1
2(3+x)＝
1
4(1+
x?1
2)?
1
8(1+
x?1
4)，
又因为
1
1+x=
∞

n＝0(?1)nxn，-1＜x＜1，
故在?1＜x＜3中，
1
4(1+
x?1
2)＝
1
4
∞

n＝0
(?1)n
2n(x?1)n，
在?3＜x＜5中，
1
8(1+
x?1
4)＝
1
8
∞

n＝0
(?1)n
4n(x?1)n，
再注意到（-1，3）∩（-3，5）=（-1，3），
因此，f(x)＝
1
x2+4x+3＝
∞

n＝0(?1)n(
1
2n+2?
1
22n+3)(x?1)n，（-1＜x＜3）．