函数应用题到底怎么解？

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函数应用题的类型及解题技巧
函数应用题是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。下面就函数应用题的类型及解法举例分析。
一． 函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？
分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。
解：设x个木匠制课桌，（30-x）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数 ，制作200把椅子所需时间为函数 ，完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x），Q（x）}
要求的y（x）的最小值，需满足P（x）=Q（x），即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）=
Q（13）= 即y（12）>y（13）,
所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。
二．函数模型为一次函数问题
例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?
分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额。而卖报所得的金额分三部分。从而可列出函数解析式。
解：设每天应从报社买x份，可的250≦x≦400，设每月赚y元，得
y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30
=0.3x+1050 x∈[250,400]
因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)
答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大，每月可赚得1070元。
三．函数模型为一二次函数问题
例3：有 （m）长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等矩形组成的矩形，试问小矩形的长宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并算出窗框的最大值。

分析：应用数学知识解决应用型问题，是提高数学素质的训练内容之一，教材中也多出出现，对于此题的分析要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当的构造出函数，应用函数的具体性质去解决问题。本题中面积为两部分够成，而面积就为窗所通过的光线，从而可列出函数解析式进一步解出题目。

解：设小矩形的长为x， 宽y为 ，则由图形可得：
11x+ x+9y= ∴9y= -(11+ )x
要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则
S= = + [ x-(11+ )x2]
=- (x- + .
所以当x= ， y=
即 = 1：1 此时窗框的面积s有最大值S=
四．函数模型为其他函数问题
例4：有甲乙两种商品，销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），他们与投入资金Q（万元）的关系，有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品，为获得的利润最大，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？
分析：首先应根据题意，建立利润与资金之间的函数关系，求的函数解析式，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化。
解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资（3-x）万元，总利润y万元，据题意有：
Y= （ 0≦x≦3 ）
设 =t 则x=3-t2， 0≦x≦
所以 y= 0≦x≦
当x= 时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25
由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元
总之，函数的应用是数学思想的体现，是应用数学知识解决实际问题的有效途经。如果我们学好了这部分，在具体的题目中会分析题目，找出关系量之间的联系，建立适当的函数关系式，把实际问题转化为数学模型，然后利用初等函数的性质，去解决问题。使抽象问题数学化，化生为熟。

利润＝x(10-0.01x)-(5x+200)

=-0.01x^2+5x-200

=-0.01(x^2-500x)-200

=-0.01(x-250)^2+425

故x=250件时，利润最大＝425元

函数应用题的类型及解题技巧函数应用题是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。下面就函数应用题的类型及解法举例分析。一． 函数模型为反比例函数问题例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。解：设x个木匠制课桌，（30-x）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数 ，制作200把椅子所需时间为函数 ，完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x），Q（x）}要求的y（x）的最小值，需满足P（x）=Q（x），即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）= Q（13）= 即y（12）>y（13）,所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。二．函数模型为一次函数问题例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额。而卖报所得的金额分三部分。从而可列出函数解析式。解：设每天应从报社买x份，可的250≦x≦400，设每月赚y元，得y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30 =0.3x+1050 x∈[250,400]因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大，每月可赚得1070元。三．函数模型为一二次函数问题例3：有 （m）长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等矩形组成的矩形，试问小矩形的长宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并算出窗框的最大值。分析：应用数学知识解决应用型问题，是提高数学素质的训练内容之一，教材中也多出出现，对于此题的分析要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当的构造出函数，应用函数的具体性质去解决问题。本题中面积为两部分够成，而面积就为窗所通过的光线，从而可列出函数解析式进一步解出题目。解：设小矩形的长为x， 宽y为 ，则由图形可得： 11x+ x+9y= ∴9y= -(11+ )x要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则S= = + [ x-(11+ )x2]=- (x- + .所以当x= ， y= 即 = 1：1 此时窗框的面积s有最大值S= 四．函数模型为其他函数问题例4：有甲乙两种商品，销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），他们与投入资金Q（万元）的关系，有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品，为获得的利润最大，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？分析：首先应根据题意，建立利润与资金之间的函数关系，求的函数解析式，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化。解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资（3-x）万元，总利润y万元，据题意有：Y= （ 0≦x≦3 ）设 =t 则x=3-t2， 0≦x≦ 所以 y= 0≦x≦ 当x= 时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元总之，函数的应用是数学思想的体现，是应用数学知识解决实际问题的有效途经。如果我们学好了这部分，在具体的题目中会分析题目，找出关系量之间的联系，建立适当的函数关系式，把实际问题转化为数学模型，然后利用初等函数的性质，去解决问题。使抽象问题数学化，化生为熟。

函数应用题，一般初中高中函数应用题都是伪应用题，所以你只需在里面找出题目的设定的数学语言即可，这些应用题基本没有实际意义，你把它看出普通数学题目，里面数学语言逻辑关系搞清就可以了，那么根据题目你一条一条列出来，然后组成数学函数关系式即可。但这里面往往实际问题并不是无穷大或无穷小，肯定有限制范围，或者需要你分类讨论思路。 本题 解：分析：假如他买小于三条，那么花费150x， 买大于三条小于八条呢，那么只是价格一半，即150X0.5Xx=75x 那么大于八条呢？就是三折，即150X0.3x=45x 即函数关系式y=150x（0<x<3） 75x（3=<x<8） 45x（x>=8） 画个大括号括起来即可， 第二问你自己做，简单了