平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α-2β=

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α-2β=

试题答案：（Ⅰ）设C（x，y），∵OC=αOA+βOB，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．∴x=αy=-2β &∵α-2β=1 &∴x+y=1即点C的轨迹方程为x+y=（15分）（Ⅱ）由x+y=1x2a2-y2b2=1得（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0由题意得b2-a2≠0(2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0（8分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-2a2b2-a2，x1x2=-a2+a2b2b2-a2（10分）∵以MN为直径的圆过原点，∴OM•ON=0．即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2=1+2a2b2-a2-2(a2+a2b2)b2-a2=0．即b2-a2-2a2b2=0．∴1a2-1b2=2为定值．（14分）