高考 数列列项求和法 常见的裂项方法

高考 数列列项求和法 常见的裂项方法

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裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)

等差数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 等差中项 由三个数a，a，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，a叫做a与b的等差中项 有关系：a＝（a＋b）/2 通项公式 an=a1+(n-1)d an=sn-s(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： sn=a1+a2+a3••••••+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+••••••+[a1+(n-1)d] ① sn=an+(an-d)+(an-2d)+••••••+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 性质 且任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq s2n-1=(2n-1)an，s2n+1=(2n+1)an+1 sk，s2k-sk，s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…成等差数列，等等。 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。

等比数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。 等比中项 如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。 有关系：g^2＝ab；g＝±(ab)^(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以g^2=ab是a,g,b三数成等比数列的必要不充分条件。 通项公式 an=a1q^(n-1) an=sn-s(n-1) (n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=na1 性质 任意两项am，an的关系为an=am•q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1•an=a2•an-1=a3•an-2=…=ak•an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq•ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1•a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数c为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： ①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am•an=ap•aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “g是a、b的等比中项”“g^2=ab（g≠0）”. (5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中a^n表示a的n次方。 等和数列 定义 “等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列 性质 必定是循环数列

数列前n项和公式的求法 (一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,a,b构成等差数列 则 a=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列的前n项和为sn 即 sn=a1+a2+...+an; 那么 sn=na1+n(n-1)d/2 =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比数列: 通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 则an/am=q^(n-m) (1)an=am*q^(n-m) (2)a,g,b 若构成等比中项,则g^2=ab (a,b,g不等于0) (3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3...an构成等比数列 前n项和sn=a1+a2+a3...an sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 注: q不等于1; sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法