5的一次方加到5的30次方的和有多少因数 如何计算？

5的一次方加到5的30次方的和有多少因数 如何计算？

等比数列求和再因式分解.
5+5^2+5^3+...+5^30 = (5^31-5)/(5-1) = (5^31-5)/4 = (5^30-1)·5/4.
考虑x^30-1的因式分解.
首先x^30-1 = (x^15-1)(x^15+1).
x^15-1 = (x^5-1)(x^10+x^5+1) = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^10+x^5+1).
另一方面, x^15-1 = (x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1) = (x-1)(x^2+x+1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1).
由此观察, 猜测x^10+x^5+1可以提出因子x^2+x+1.
实际算得x^10+x^5+1 = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).
x^15-1 = (x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).
类似有x^15+1 = (x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1).
代入x = 5, 我们已经将5^30-1分解为8个数的乘积:
5^30-1 = 4·31·781·315121·6·21·521·464881.
5+5^2+5^3+...+5^30 = 5·31·781·315121·6·21·521·464881.
将每个因子再分解, 这个没什么好办法, 好在只需要试除200以内的质数.
5+5^2+5^3+...+5^30 = 2·3^2·7·11·31·61·71·181·521·1741·7621.
共有11种质因数, 其中10种只出现1次, 1种出现2次.
约数个数(1+1)^10·(2+1) = 3·2^10 = 3072.

2+4+5=11