如图，已知抛物线y=-1/2x平方+x+4 交x轴的正半轴与点A，交y轴于点B （1)求A.B两

如图，已知抛物线y=-1/2x平方+x+4 交x轴的正半轴与点A，交y轴于点B （1)求A.B两点的坐标，并求直线AB的解析式、 （2）设P（x，y）(x>0)是直线y=x上的一点，Q 是OP的中点（O是原点），以PQ对角线作正方形 PEQF，若正方形PEQF于直线AB有公共点，求x的 取值范围 （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB 公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式， 并探究S的最大值。 要有过程

已知抛物线y=-1/2x²+x+4 交x轴的正半轴与点A，交y轴于点B
a=-1/2＜0，则抛物线开口朝下
Δ=b²-4ac=1+4×4/2=9＞0 抛物线图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
即A点（2，0）和C点（-4，0）
因交y轴于点B
所以y=-1/2x²+x+4=4，即B点（0,4）
设直线为y=kx+b，将A(2,0),B(0,4)代入直线方程得
则有0=2k+b和b=4解得k=-2
直线AB的解析式y=-2x+4
（2）
因正方形PEQF于直线AB有公共点,Q点的坐标为（x/2,y/2)
必然Q点的最大坐标在y=-2x+4和直线y=x的交点上
则有y=-2x+4=x，y=x=4/3
Q点的最大坐标为（4/3，4/3）
P点的最大坐标（8/3,8/3）
P点的最小坐标（4/3,4/3）
Q点的最小坐标为（2/3，2/3）
所以x的取值范围为2/3＜x＜8/3
3、
过Q点作相交于直线y=-2x+4的直角△交直线y=-2x+4于D点和C点
Q点坐标（x/2,y/2）,即（x/2,x/2）
则D点(x/2,-x+4)和C点(-x+4,x/2)
面积S=QD×CG/2
= |(-x+4-x/2)||(-x+4-x/2)|/2
=(-3x/2+4)²/2
令x=2/3,则正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S达到最大
S=(-3x/2+4)²/2=9/2=4.5
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已知抛物线y=-1/2x²+x+4 交x轴的正半轴与点a，交y轴于点b 
a=-1/2＜0，则抛物线开口朝下
δ=b²-4ac=1+4×4/2=9＞0 抛物线图象与x轴交于两点：
（[-b-√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）； 
即a点（2，0）和c点（-4，0）
因交y轴于点b
所以y=-1/2x²+x+4=4，即b点（0,4）
设直线为y=kx+b，将a(2,0),b(0,4)代入直线方程得
则有0=2k+b和b=4解得k=-2
直线ab的解析式y=-2x+4
（2）
因正方形peqf于直线ab有公共点,q点的坐标为（x/2,y/2)
必然q点的最大坐标在y=-2x+4和直线y=x的交点上
则有y=-2x+4=x，y=x=4/3
q点的最大坐标为（4/3，4/3）
p点的最大坐标（8/3,8/3）
p点的最小坐标（4/3,4/3）
q点的最小坐标为（2/3，2/3）
所以x的取值范围为2/3＜x＜8/3
3、
过q点作相交于直线y=-2x+4的直角△交直线y=-2x+4于d点和c点
q点坐标（x/2,y/2）,即（x/2,x/2）
则d点(x/2,-x+4)和c点(-x+4,x/2)
面积s=qd×cg/2
= |(-x+4-x/2)||(-x+4-x/2)|/2
=(-3x/2+4)²/2
令x=2/3,则正方形peqf与△oab公共部分的面积为s达到最大
s=(-3x/2+4)²/2=9/2=4.5