已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=b2x(b∈N*)，P为双曲线

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=b2x(b∈N*)，P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为x24?y2＝1x24?y2＝1．

∵|F1F2|2=|PF1|?|PF2|，
∴4c2=|PF1|?|PF2|，
∵|PF1|-|PF2|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|=16，
即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①
设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，
由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|?|OP|?cos（π-θ），
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|?cosθ
整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2
∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．
∵一条渐近线方程为y=
b
2 x（b∈N*），
∴
b
a =
1
2 ，∴a=2，
∴
x2
4 ?y2＝1．
故答案为：
x2
4 ?y2＝1．

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