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某兴趣小组对偶函数f(x)的性质进行研究,发现函数f(x)在定义域R上满足f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上为增函数,在此基础上,本组同学得出以下结

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解决时间 2021-03-21 16:56
某兴趣小组对偶函数f(x)的性质进行研究,发现函数f(x)在定义域R上满足f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上为增函数,在此基础上,本组同学得出以下结论,其中错误的是A.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.函数y=f(x)的周期为2C.当x∈[-3.-2]时f'(x)≥0D.函数f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点
最佳答案
C解析分析:A选项先确定f(1)=f(-1)=0,从而再由f(x+2)=f(x),及f(x)为偶函数,可得出f(1+x)=f(1-x)即可证明命题为真;B选项根据f(x+2)=f(x),可知f(x) 的周期为2;C选项由f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)为偶函数可推知f(x)在[-1,0]上单调递减;又因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)在[-1+2k,2k]k∈Z上单调递减,从而f(x)在[-3,-2]上单调递减,故f′(x)≤0;D选项根据R上的偶函数在区间[0,1]上为增函数,可知0是函数的极小值点,根据f(x) 的周期为2,可知函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点,故可得选出正确选项.解答:对于A选项,f(-1+2)=f(-1)+f(1),∴f(-1)=0,又知f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1)=0,∴f(x+2)=f(x)∵f(x)为偶函数,∴f(x+2)=f(-x),∴f(1+x)=f(1-x),∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;B选项根据f(x+2)=f(x),可知f(x) 的周期为2,故B正确;C选项由f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)为偶函数可推知f(x)在[-1,0]上单调递减;又因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)在[-1+2k,2k]k∈Z上单调递减,从而f(x)在[-3,-2]上单调递减,故f′(x)≤0,所以C不正确;D选项根据R上的偶函数在区间[0,1]上为增函数,可知0是函数的极小值点,根据f(x) 的周期为2,可知函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点,所以D正确故正确结论的序号是A,B,D,错误的是C故选C点评:本题综合考查偶函数的性质,考查函数的周期性,函数的对称性,合理运用条件进行转化是解题的关键
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