当n为大于2的整数时，证明n×n⁴-5n³+4n能被120整除 要过程
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解决时间 2021-05-10 14:06
- 提问者网友：放下
- 2021-05-10 04:22
当n为大于2的整数时，证明n×n⁴-5n³+4n能被120整除 要过程
最佳答案
- 五星知识达人网友：青灯有味
- 2021-05-10 05:51
证明:n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除，所以上式能被5整除。
五个连续的整数至少有一个能被3整除，所以上式能被3整除。
五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
综上所述，原式能被3*5*8=120整除
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除，所以上式能被5整除。
五个连续的整数至少有一个能被3整除，所以上式能被3整除。
五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
综上所述，原式能被3*5*8=120整除
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