求不等式大全,基本不等式,琴生不等式,闵可夫斯基不等式 等等

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著名不等式荟萃在数学领域里,不等式知识占有广阔的天地,而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩.下面择要介绍一些著名的不等式.一、平均不等式（均值不等式）设a1,a2,…,an是 n个实数,A＝叫做这n个实数的算术平均数.当这 n个实数非负时,G＝叫做这 n个非负数的几何平均数.当这 n个实数均为正数时,H＝叫做这 n个正数的调和平均数.设a1,a2,…,an为 n个正数时,对如下的平均不等式：H≤G≤A当且仅当 a1＝a2＝…＝an时等号成立.平均不等式A≥G是一个重要的不等式,它的应用非常广泛,如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一.设x1,x2,…,xn是 n个正的变数,则(1)当积 x1x2…xn＝P是定值时,和x1＋x2＋…＋xn有最小值,且(x1＋x2＋…＋xn)min＝n＝n(2)当和 x1＋x2＋…＋xn＝S是定值时,积 x1x2…xn有最大值,且(x1x2…xn)max＝()n＝()n两者都是当且仅当 n个变数彼此相等时,即 x1＝x2＝…＝xn时,才能取得最大值或最小值.在 A≥G中,当n＝2,3时,分别有≥,≥平均不等式 A≥G经常用到的几个特例是：(a1＋a2＋…＋an) (＋＋…＋)≥n2当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；a1＋≥2,当且仅当a1＝1时等号成立.二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn,有(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2) (b12＋b22＋…＋bn2)其中等号当且仅当＝＝…＝时成立.柯西不等式的几个特例(以下a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn均为实数)是：(1) a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝1,则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1(2) a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32(3) (a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)柯西不等式是又一个重要不等式,有许多应用和推广.三、闵可夫斯基不等式设 a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn是两组正数,k＞0,k≠1,则(1) k＞1时,≤＋(2) 0＜k＜1时,≥＋当且仅当 ＝＝…＝时等号成立.闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当k＝2,n＝2时得平面上的三角形不等式：≤＋右图给出了对上式的一个直观理解.若记＝(a1,a2),＝(b1,b2),则上式为|＋|≤||＋||四、贝努利不等式(1)设xi＞－1,i＝1,2,…,n,n ≥2且同号,则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx,x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2(2)设x＞－1,则(i) 当0＜α＜1时,有(1＋x)α≤1＋αx；(ii) 当α＞1或α＜0时,有 (1＋x)α≥1＋αx.上两式当且仅当x＝0时等号成立.五、赫尔德不等式已知ai＞bi(1≤i≤n)是2n个正实数,p＞0,q＞0,p＋q＝1,则a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤(a1＋a2＋…＋an) p(b1＋b2＋…＋bn)q上式中若令p＝q＝,xi2＝ai,yi2＝bi,即为柯西不等式.六、契比雪夫不等式(1)若 a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn,则(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥；(2)若 a

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