已知f(n)=(2n+7)3 n +9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的m的值。并用数学归

已知f(n)=(2n+7)3 n +9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的m的值。并用数学归

m值等于36

本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 然后证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3 k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3 k+1 ?－(2k+7)·3 k =(6k+27)·3 k －(2k+7)·3 k =(4k+20)·3 k =36(k+5)·3 k －2 ?(k≥2) 证明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除  证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3 k +9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3 k+1 ?－(2k+7)·3 k =(6k+27)·3 k －(2k+7)·3 k =(4k+20)·3 k =36(k+5)·3 k －2 ?(k≥2)  f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36