求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数

求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数

设这五个数为m-2,m-1,m,m+1,m+2.其平方和为S. 那么S=(m-2）^2+(m-1)^2+m^2+(m+1)^2+(m+2)^2=5(m^2+2)^2 因为m^2的个位数只能是0，1，4，5，6，9 所以m^2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1 所以m^2+2不能被5整除 而5(m^2+2)能被5整除 即S能被5整除，但不能被25整除 所以五个连续整数的平方和不是完全平方数

完全平方数分解质因数以后它的每个质因数的指数必须都是偶数 也就是说同样的质因数必须有偶数个 假设这五个连续整数依次是n-2 n-1 n n+1 n+2

那么他们的平方和就是（n-2）^+(n-1)^+n^+(n+1)^+(n+2)^

=5n^+10

=5(n^+2)

因为n^个位只可能是0 1 4 5 6 9中的一个 所以n^+2不可能个位是5 或者0 也就是说n^+2不可能是5的倍数 不可能含有质因数5 所以它的5倍也不能使完全平方数

设这五个数为X，X+1，X+2，X+3，X+4 则平方和X^2+(X+1)^2+(X+2)^2+(X+3)^2+(X+4)^2 =5X^2+20X+30 =5（X^2+4X+6） =5（X+2）^2+10 ∴不是完全平方数