a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=

a,b,c,d为正整数,a的5次方等于b的4次方,c的3次方等于d的2次方,c-a=19,求d-b=

a^5=b^4所以a=b^4/a^4=(b/a)^4a是整数,所以(b/a)^4是整数所以b/a是整数令b/a=kb=ak所以a^5=a^4k^4a=k^4,b=ak=k^5同理可得c=m^2,d=m^3且k和m都是整数c-a=m^2-k^4=19(m+k^2)(m-k^2)=19因为19是质数,职能分解为19*1且m+k^2>m-k^2所以m+k^2=19,m-k^2=1m=10,k^2=9,k=3所以d-b=m^3-k^5=1000-243=757======以下答案可供参考======供参考答案1:*********************************************************** a^5 = b^4 推出 a=(b/a)^4 由于a是正整数,所以 可记 x = b/a 是整数. c^3 = d^2 推出 c=(d/c)^2 由于c是正整数,所以 可记 y = d/c 是整数. 又 c - a = y^2 - x^4 = 19 即: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数. PS一下: 由关系: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数. 你可以找到答案了吗? 要找出还是累吧??? 不累? 佩服你一眼看出x=3 y=10 啊 那么,我问你,你能确定,是否还有其他答案呢??? ************************ 答案关键 ************************* 怎么得到答案呢? 对 y^2 = x^4 + 19 ,我们记 z=x^2 , y^2 = z^4 + 19 进一步, 记 X = z^2 , Y = y^2 那么 X,Y 都是平方数了. (你会问有什么用,继续看!!!) 设正数 N 是平方数,那么必然存在正整数 n ,使 N = ∑(2i-1) (i=1,2,3, ... ,n) 什么???等吗?有没搞错??? 不会啦,没错!!!! 因为 n^2 = (2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 . 所以我们记: N(n)=(2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 . 这样, N(n)-N(n-1)=2n-1 = 19 得到 n=10 ********************************************************** [答案]出来了!!! c=N(n)=n^2=100 , a=N(n-1)=(n-1)^2= 81 . ********************************************************** 这就确定没有其他答案了吗? 当然不了, 继续看!!! [唯一性简单证明]: 奇数 个 连续奇数之和 等于 处于中心的奇数乘以奇数个数. 可表达为:(记奇数个数:i , i 为奇数) S(i)=中心奇数*i , 显然是合数了,不是偶数.可19是素数. 而 偶数 个 奇数之和,是偶数. 可19是素数. 所以,答案不用考虑N(n)-N(n-1)以外的情况,如不用考虑N(n)-N(n-5)的情况. 唯一性得证. ************************ 给出答案 ************************* a=81 b=243 可见 a^5 = b^4 即: (3^4)^5 = (3^5)^4 c=100 d=1000 可见 c^3 = d^2 c-a = 100 - 81 = 19 d-b = 1000 -243 =757 ***************

我明天再问问老师，叫他解释下这个问题