如图,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方形的对角线A

如图,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方形的对角线A
如图,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方形的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.
（1） 当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值；
（2） 当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值；
（3） 当点P为对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值；
由以上问题,你得到了什么结论?你能证明你的结论吗?
我想要具体的过程，算式，凭直觉我也认为是P、Q都为中点时最小，但还是需要具体的说明。

设正方体边长为a,P(x1,x1,z1),Q(x2,a,a)
如图,则ΔGP'P和ΔGEA相似,
∴GP‘/EG=P'P/AE,即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1
∴P(x1,x1,a-x1), 向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）
(1),由题意得：PQ⊥AG,
此时,x1=a/2,向量PQ=(x2-a/2,a/2,a/2),向量AG=(a,a,-a)
∴向量PQ·向量AG=a(x2-a/2)=0
∴x2=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(2),同理,PQ⊥CD,
此时x2=a/2,向量PQ=(a/2-x1,a-x1,x1),向量DC=(a,0,0)
∴向量PQ·向量DC=a(a/2-x1)=0
∴x1=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(3),由题意,PQ为CD和AG的公垂线
由(1)、(2)得：当x1=x2=a/2时,能够成线段PQ
且PQ为CD和AG的公垂线
∴|PQ|=√2 a/2,为最小值
验证：向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1),向量AG=(a,a,-a),向量DC=(a,0,0)
PQ为CD和AG的公垂线
∴a(x2-x1)+a(a-x1)-ax1=0
a(x2-x1)=0
联立得：x1=x2=a/2