二次函数f(x)=ax²+bx (a≠0)满足f(2-x)=f(x). 且方程f(x)=x有等根

二次函数f(x)=ax²+bx (a≠0)满足f(2-x)=f(x). 且方程f(x)=x有等根 （1）求f(x)憨酣封叫莩既凤习脯卢解析式 （2）是否存在m,n(m<n), 使得f(x)定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n],若存在，求m、n，若不存在，说明理由。

∵f(2-x)=f(x). ∴f(1－x)＝f[2－(1－x)]＝f(1＋x) ∴函数f(x)关于x＝1对称 ∴﹣b/a＝1
∵f(x)＝x有等根 ∴ax²＋(b－1)x＝0有等根
∵ax²＋(b－1)x＝0 ∴x＝0 x＝(1－b)/a ∴b＝1 a＝﹣1
∴f(x)＝﹣x²＋x

假设存在m,n(m<n), 使得f(x)定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]f(x)＝﹣x²＋x＝﹣（x－1/2）²＋1/4
①当1/2∈[m,n],则3n＝1/4 ∴n＝1/12＜1/2 ∴1/2不属于[m,n],
②当m＞1/2，则3m＝f(m)＝﹣m²＋m ∴m＝0 m＝﹣2均＞1/2 ∴m≯1/2
③当n＜1/2，则3n＝f(n)＝﹣n²＋n 3m＝f(m)＝﹣m²＋m
∴n＝0,n＝﹣2 m＝0 m＝﹣2
∵m＜n ∴m＝﹣2 n＝0

因为f(5-x)=f(x-3)    所以有:a(5-x)^2+b(5-x)=a(x-3)^2+b(x-3) 整理得：(-10a-b)x+(25a+5b)=(b-6a)x+(9a-3b) 通过系数比较可知：    -10a-b=b-6a(或25a+5b=9a-3b) 所以：b=-2a 又因为方程f（x）=x有等根，即：    ax^2+bx=x 移项得：ax^2+(b-1)x=0 因为有等根，故δ=(b-1)^2=0 所以b=1,a=-0.5 所以解析式为f(x)=-0.5x^2+x