已知平面直角坐标系中,A(-4,1)B(-2,-5)，在y轴上是否存在点p，使PA+PB最小？若有，P的坐标，若无，理由？

已知平面直角坐标系中,A(-4,1)B(-2,-5)，在y轴上是否存在点p，使PA+PB最小？若有，P的坐标，若无，理由？

解：设点A（-4，1）关于y轴对称的点为C，则C（4，1）

连接BC，与y轴的交点即为所求的P

∵B（-2，-5），C（4，1）

则BC所在直线为：y=x-3

令x=0，则y=-3

∴P（0，-3）

设P的坐标，（0,y)

根据勾股定律

PA=(-4)^2+(Y-1)^2=16+Y^2-2Y+1=Y^2-2Y+17

PB=(-2）^2+(Y+5)^2=4+Y^2+10Y+25=Y^2+10Y+29

所以PA+PB=2Y^2+8Y+46=2(Y^2+4Y+4)+46-8

=2(Y+2)^2+38

则使PA+PB最小

即(y+2)^2=0

所以y=-2

P的坐标（0-2）

因为PA+PB是关于P的纵坐标Y的一个函数，而且是基本函数的有限复合，所以我们知道这个复合函数一定是一个连续函数，而连续函数在其定义域内必定存在最小值，只是连续函数的的性质，证明你可以去参看微积分的第一章，所以p的坐标是存在的。

那么，我们来找吧，按定义来，就是设个P的坐标，然后两点距离一算，平方啊，什么的

另一种方法是你找B关于Y轴的对称点B'，连线AB',连线与Y轴交点就是所求了

我只讲思路哈，呵呵

也可应用三角函数来做

答案也是P（0，-3）