在△ABC中，P是BC边上的任意一点.求证：存在γ1，γ2∈(0,1)且γ1+γ2=1，是AP=γ1AB+γ2AC.

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解决时间 2021-02-28 23:32

提问者网友：送舟行
2021-02-28 19:45

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最佳答案

五星知识达人网友：患得患失的劫
2021-02-28 21:05

つ沉淀゜く,你好"
解答如下,我来跟你提供解这类向量证明题的思路,你看这是个存在性的证明题,因此你可以倒推分析, 什么情况下,γ1+γ2=1???? 自然而然,想到, (BP+PC)/BC=1, 把它分拆,如果能证得 γ1=BP/BC,γ2=PC/BC, 那么原问题就得证了，照此思路来转化。
于是过点P引两条线分别平行于AB，AC 分别交AC于D，交AB于E，那么产生了平行线间的比例关系，得到，BP/BC=AD/AC，PC/BC=AE/AB，于是，根据平行四边形AEPD，对角线，向量AP=向量AE+向量AD 而由上式， AE=PC/BC *AB， AD=BP/BC *AC，于是代入，令γ1=BP/BC,γ2=PC/BC 显然，γ1，γ2∈(0,1)且γ1+γ2=1 且AP=γ1AB+γ2AC.

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1楼网友：孤独入客枕
2021-02-28 21:56

做PE‖AB,PF‖AC，则PE/AB=PC/BC,PF/AC=BP/BC，而PC/BC+BP/BC=1所以PE/AB+PF/AC=1,而在平行四边形AFPE中PF=AE,PE=AF所以AF/AB+AE/AC=1，又因为AP=AE+EP=AE+AF所以AP=AF/AB×AB+AE/AC×AC即存在γ1，γ2∈(0,1)且γ1=AF/AB,γ2=AE/AC,γ1+γ2=1，是AP=γ1AB+γ2AC.证毕.

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