已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°.CD⊥AB,E为AB边中点,CE=AE,且∠BCD=3∠DCA.求证DE=DC

详细一点

∵三角形ABC是直角三角形 ,∠ACB=90°E是AB的中点

∴BE＝CE＝AE（直角三角形斜边中线为斜边的一半）

∴∠B=∠BCE ∠CED=∠B+∠BCE=2∠BCE

∵ CD⊥AB

∴∠B=∠DCA

∴∠BCE=∠DCA

∵∠BCD=3∠DCA

∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=3∠BCE-∠BCE=2∠BCE

∴∠ECD=∠CED

∴DE=DC 三角形CDE是等腰三角形

证明：因为∠ACB=90°,E为AB中点

所以CE=AE =BE ∠B=∠BCE

因为△BCA相似于△CDA

所以∠ACD=∠B=∠BCE

又因∠BCD=3∠DCB

所以∠DCE=2∠B

又因∠CED=2 ∠B

所以∠DCE=∠CED

所以 DE=DC

<c=90

∠BCD=3∠DCA

所以<BCD=67.5

<DCA=22.5

<CDA=90

则<A=90-22.5=67.5

CE=AE

<A=<ECA

则<CEA=180-2*67.5=45

<EDC=90

所以<ECD=90-45=45

所以<CEA=<ECD

则DE=DC