设自然数n使2n+1及3n+1都是完全平方数，求证：40|n

就是n能被40整除的意思

注意到2n+1为奇数，且为完全平方数，那么它是一个奇数的平方，其对8取模余1，于是
2n+1≡1(mod8)，得到n≡0(mod4)，即4|n
设n=4m，那么3n+1=12m+1为完全平方数，也是一个奇数的平方，于是12m+1≡1(mod8)，得到m≡0(mod2)，即m为偶数，即8|n
设n=8k，那么16k+1与24k+1都是完全平方数，因此它们对5取模余0,-1,1。注意到16k+1≡k+1(mod5)，24k+1≡-k+1(mod5)，只有k≡0满足k+1与-k+1对5取模余0,-1,1，因此5|k
综上40|n

2n+1则一定是奇数，3n+1未知，不妨设相差为n。那么只有在（1）n=√(3n+1)+√(2n+1)或（2）n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才成立；在情况（1），n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，舍去 情况（2）时，这时得n只有一个可取的，那就是40。 40|n情况成立。

证明：（1）∵2n+1是完全平方数， ∴2n+1被8除余1， ∴n为偶数， ∴3n+1为奇数， 又∵3n+1是完全平方数， ∴3n+1被8除余1， ∴8|3n， ∵（8，3）=1， ∴8|n．由x2=0，1，4（mod5），及（3n+1）+（2n+1）=5n+2， 得2n+1被5除均余1，于是5|（3n+1）-（2n+1）， 即5|n， ∵（8，5）=1， ∴40|n； （2）由2n+1及3n+1都是完全平方数，可设2n+1=k2及3n+1=m2（k，m∈n）， 则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k2-m2=（2k+m）（2k-m）， 显然2k+m＞1，若2k-m=1，即2k=m+1， 从而5n+3=2k+m=2m+1， 于是（m-1）2=m2-（2m+1）+2=（3n+1）-（5n+3）+2=-2n＜0， 这与（m-1）2≥0矛盾，故2k-m＞1， 所以5n+3是合数， 即5n+3不能为质数．

简单啊！ 2n+1是奇数，3n+1待定，且相差为n。 那么只有在n=√(3n+1)+√(2n+1)或n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才对 在情况①，n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，显然就不对了。 情况②时，这时得n只有一个可取的，那就是40。 40|n情况成立。