三角函数问题(二)

由题意知：可设公比为q,q>0。令b=aq,c=bq=aq^2。

则根据余弦定理有：a^2=b^2+c^2-2bccosA。

a^2=a^2q^2+a^2q^4-2a^2q^3cosA。

可得cosA=(q^2+q^4-1)/2q^3。

a+b>c,a+c>b,b+c>a。

即1+q>q^2,1+q^2>q,q+q^2>1。即q^2-q-1<0,q^2+q-1>0,q^2-q+1>0。

可求得：(-1+√5)/2<q<(1+√5)/2。

而设函数f(q)=(q^2+q^4-1)/2q^3。

若f(q)=0，则有(q^2+q^4-1)/2q^3=0

可得：q=√[(-1+√5)/2]。

故可知：当(-1+√5)/2<q<√[(-1+√5)/2]时，f(q)<0，即此时cosA<0，三角形是以A为钝角的钝角三角形。

当q=√[(-1+√5)/2]时，f(q)=0，此时cosA=0，即A=90°。三角形是以A为直角的直角三角形。

当√[(-1+√5)/2]<q<(1+√5)/2时，f(q)>0，此时cosA>0,即A为锐角。

而b^2=a^2+c^2-2accosB,可得 cosB=(q^4-q^2+1)/2q^2>0，即B为锐角。

同理可得：cosC=(-q^4+q^2+1)/2q，在q<√[(1+√5)/2]有cosC>0,即C为锐角。q=√[(1+√5)/2]时，角C=90°。

当q>√[(1+√5)/2]时，cosC<0，即C为钝角。

则当√[(-1+√5)/2]<q<√[(1+√5)/2]，三角形是锐角三角形。

当q=√[(1+√5)/2，三角形是以C为直角的直角三角形。

当√[(1+√5)/2]<q<(1+√5)/2时，三角形是以C为钝角的钝角三角形。