已知椭圆的右顶点为A，离心率e＝12，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x

已知椭圆的右顶点为A，离心率e＝
1
2 ，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=-4交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段MN为直径的圆经过焦点F．

（Ⅰ）由已知 c=1，
c
a ＝
1
2 ，
∴a=2，b=



3 ，
∴椭圆方程为
x2
4 +
y2
3 =1．--------------（5分）
证明：（Ⅱ） 设直线l方程为 y=k（x+1），
由  







y＝k(x+1)

x2
4 +
y2
3 ＝1 得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
8k2
3+4k2 ，x1x2＝
4k2?12
3+4k2 ．-----（7分）
设M（-4，yM），N（-4，yN），则由A，P，M共线，得
yM?y1
?4?x1 ＝
y1
x1?2 ，有 yM=-
6y1
x1?2 ．同理 yN=-
6y2
x2?2 ．
∴yMyN=


游希先生丶IL3
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发布于2014-11-25 16:19


评论

（ⅰ）由已知 c=1， c a = 1 2 ， ∴a=2，b= 3 ， ∴椭圆方程为 x 2 4 + y 2 3 =1．--------------（5分） 证明：（ⅱ） 设直线l方程为 y=k（x+1）， 由   y=k(x+1) x 2 4 + y 2 3 =1 得（3+4k 2 ）x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0． 设p（x 1 ，y 1 ），q（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2 =- 8 k 2 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ．-----（7分） 设m（-4，y m ），n（-4，y n ），则由a，p，m共线，得 y m - y 1 -4- x 1 = y 1 x 1 -2 ，有 y m =- 6 y 1 x 1 -2 ．同理 y n =- 6 y 2 x 2 -2 ． ∴y m y n = 36 y 1 y 2 ( x 1 -2)( x 2 -2) = 36 k 2 [ x 1 x 2 +( x 1 + x 2 )+1] x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 )+4 ．------（9分） fm ? fn =(-3， y m )?(-3， y n )=9+ y m y n =9+ 36 k 2 [ x 1 x 2 +( x 1 + x 2 )+1] x 1 x 2 -2( x 1 + x 2 )+4 =9+ 36 k 2 [ 4 k 2 -12 3+4 k 2 - 8 k 2 3+4 k 2 +1] 4 k 2 -12 3+4 k 2 +2 8 k 2 3+4 k 2 +4 =9- 9×36 k 2 36 k 2 =0. ∴ fm ⊥ fn ，即fm⊥fn，以线段mn为直径的圆经过点f；----（12分） 当直线l的斜率不存在时，不妨设m（-4，3），n（-4，-3）．则有 fm ? fn =(-3，3)?(-3，-3 ）=9-9=0， ∴ fm ⊥ fn ，即fm⊥fn，以线段mn为直径的圆经过点f． 综上所述，以线段mn为直径的圆经过定点f．-----------（14分）