【轨迹方程】轨迹方程的几种常用求法常用的一些轨迹方程求法主要要与圆有关的...

【轨迹方程】轨迹方程的几种常用求法常用的一些轨迹方程求法主要要与圆有关的...

【答案】 求动点的轨迹方程要根据题设条件灵活地选择方法.常用的方法有两大类,一类是直接求法,包括利用圆锥曲线的定义等；另一类是间接求法,主要包括相关点法和参数法.
　　　　一、 直接法
　　　　一般情况下,动点在运动时,总是满足一定的条件的（即动中有静,变中有不变）,可设动点的坐标为(x,y),然后选择适当的公式（如两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两点连线的斜率公式,两直线（向量）的夹角公式,定比分点坐标公式,三角形面积公式等）,或一些包含等量关系的定理、定义等,将题设条件转化成x,y之间的关系式（等式）,从而得到动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.
　　　　例1 已知定点a（-1,0）,b（2,0）,动点m满足2∠mab=∠mba,求点m的轨迹方程.
　　　　解析 直接设点m为（x,y）,先将2∠mab=∠mba转化成直线ma,mb的斜率的关系式,便可得点m的轨迹方程.
　　　　图1
　　　　如图1,设∠mab=α,则∠mba=2α,显然0≤α＜90°.
　　　　(1) 当2α≠90°时,
　　　　若m点在x轴上方,
　　　　则有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
　　　　若点m在x轴下方,则有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
　　　　于是总有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|,可得x2-y23=1(x≥1).
　　　　若点m在x轴上,则点m为线段ab上的点,所以有y=0（-1＜x＜2）.
　　　　（2） 当2α=90°时,△mab为等腰直角三角形,点m为（2,±3）.
　　　　综上,点m的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
　　　　二、 定义法
　　　　若动点在运动时满足的条件符合某种已知曲线的定义,则可以设出其轨迹的标准方程,然后利用待定系数法求出其轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为定义法,利用定义法求轨迹方程要熟知常见曲线的定义、特征.
　　　　例2 设动点p到点a（-1,0）和b（1,0）的距离分别为d1,d2（d1d2≠0）,∠apb=2θ.若存在常数λ(0＜λ＜1),使得d1d2sin2θ=λ恒成立.
　　　　证明：动点p的轨迹c为双曲线,并求出c的方程.
　　　　图2
　　　　解析 如图2,在△pab中,|ab|=2.
　　　　由余弦定理,可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ,即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ,
　　　　又d1d2sin2θ=λ（常数）,0＜λ＜1,
　　　　则有|d1-d2|
　　　　=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常数）＜2=|ab|,
　　　　所以点p的轨迹c是以a,b为焦点,实轴长2a=21-λ的双曲线,
　　　　从而a=1-λ,c=1,故b2=c2-a2=λ,
　　　　则c的方程为x21-λ-y2λ=1.
　　　　三、 代入法
　　　　若所求轨迹上的动点p(x,y)与另一个已知轨迹（曲线）c:f(x,y)=0上的动点q（x1,y1）存在着某种联系,则可以把点q的坐标用点p的坐标表示出来,然后代入曲线c的方程f(x,y)=0中并化简,即得动点p轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.
　　　　例3 已知定点a（4,0）和曲线c：x2+y2=4上的动点b,点p分ab之比为2∶1,求动点p的轨迹方程.
　　　　解析 要求动点p(x,y)的轨迹方程,即要建立关于p的坐标x,y的等量关系,而直接建立x,y的等量关系十分困难,但可以先寻找动点b(x0,y0)的坐标x0,y0之间的关系,再利用已知的p与b之间的关系（即x,y与x0,y0之间关系）得到关于x,y的方程.
　　　　设动点p为(x,y),b为（x0,y0）.
　　　　因为ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
　　　　又因为点b在曲线c上,所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
　　　　所以点p的轨迹方程为x-432+y2=169.
　　　　点评 代入法的主要步骤：
　　　　（1） 设所求轨迹上的任意一点为p(x,y),相对应的已知曲线上的点为q(x1,y1);
　　　　（2） 建立关系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
　　　　（3） 将这两上式子代入已知曲线方程中并化简,即得所求轨迹的方程.
　　　　四、 参数法
　　　　根据题设条件,用一个参数分别表示出动点(x,y)的坐标x和y,或列出两个含同一个参数的动点(x,y)的坐标x和y之间的关系式,这样就间接地把x和y联系起来了,然后联立这两个等式并消去参数,即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.
　　　　例4 已知动点m 在曲线c：13x2+13y2-15x-36y=0上,点n在射线om上,且|om|·|on|=12,求动点n的轨迹方程.
　　　　解析 点n在射线om上,而在同一条以坐标原点为端点的射线上的任意两点（x1,y1）,(x2,y2)的坐标的关系为x1x2=y1y2=k,k为常数且k＞0,故可采用参数法求点n的轨迹方程.
　　　　设n为（x,y）,则m为（kx,ky）,k＞0.
　　　　因为|om|·|on|=12,所以k2(x2+y2)·x2+y2=12,
　　　　所以k(x2+y2)=12.
　　　　又点m在曲线c上,所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
　　　　由以上两式消去k,得5x+12y-52=0,
　　　　所以点n的轨迹方程为5x+12y-52=0.
　　　　点评 用参数法求轨迹方程的步骤为：先引进参数,用此参数分别表示动点的横、纵坐标x,y；再消去参数,得到关于x,y的方程,即为所求的轨迹方程.注意参数的取值范围对动点的坐标x和y的取值范围的影响.
　　　　另外,求动点的轨迹方程时,还应注意下面几点：
　　　　（1） 坐标系要建立得适当.这样可以使运算过程简单,所得到的方程也比较简单.
　　　　（2） 根据动点所要满足的条件列出方程是最重要的一环.要做好这一步,应先认真分析题设条件,综合利用平面几何知识,列出几何关系（等式）,再利用解析几何中的一些基本概念、公式、定理等将几何关系（等式）坐标化.
　　　　（3） 化简所求得的轨迹方程时,如果所做的变形不是该方程的同解变形,那么必须注意在该变形过程中是增加了方程的解,还是减少了方程的解,并在所得的方程中删去或补上相应的点,这时一般不要求写出证明过程.

这个答案应该是对的