已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对x1x2∈R，且x1＜x

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）若对x1x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明方程f（x）=12[f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于（x1，x2）．（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①当x=-1时，函数f（x）有最小值0；②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤(x?1)22若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
证明：（2）令g（x）=f（x）-
1
2 [f(x1)+f(x2)]，…（6分）
∵g（x1）=f（x1）-
1
2 [f(x1)+f(x2)]=
1
2 [f(x1)?f(x2)]
g（x2）=f（x2）-
1
2 [f(x1)+f(x2)]=
1
2 [f(x2)?f(x1)]
∴g（x1）?g（x2）=?
1
4 [f(x1)?f(x2)]2
∵f（x1）≠f（x2），
故g（x1）?g（x2）＜0
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．
即方程f（x）=
1
2 [f(x1)+f(x2)]必有一个实数根属于（x1，x2）．----（8分）
解：（3）假设a，b，c存在，由①得?
b
2a =-1，
4ac?b2
4a =0
∴b=2a，c=a．------------（9分）
由②知对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
(x?1)2
2
令x=1得0≤f（1）-1≤0
∴f（1）=1
∴a+b+c=1
解得：a=c=
1
4 ，b=
1
2 ，…．（10分）
当a=c=
1
4 ，b=
1
2 时，f（x）=
1
4 x2+
1
2 x+
1
4 =
1
4 （x+1）2，其顶点为（-1，0）满足条件①，
又f（x）-x=
1
4 x2-
1
2 x+
1
4 =
1
4 （x-1）2，对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
(x?1)2
2 ，满足条件②．
∴存在a=c=
1
4 ，b=
1
2 ，使f（x）同时满足条件①、②．   …．（12分）

由题目可得出一个等式 再合并同类项 可得a*(x1-2)+1=-a*x2+x2^2 解得x2=1或-1 对应解得x1=1或3 由于x1≠x2 所以排除x1=x2=1 解得x1=3 x2=-1 望采纳