证明影函数存在唯一性定理

设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0）=0；Fy（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x0，y0）的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=F（x），它满足条件y0=f（x0），并有dy/dx=-Fx/Fy，这就是隐函数的求导公式。

一 一个方程 的情形
在前面，我们是在假定从方程 中可以确定 的前提下，给出求导数 的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数？
例：设有方程 ，问在点 ， ， ， 的附近是否确定 为 的函数？
定理1 （隐函数存在定理） 设二元函数 满足下列条件：

注： (1) 定理的几何意义：条件(1)表明曲面 是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面 有一个交点，条件（3）（不妨设 ）表明在 的附近，对固定的 ，设 为正向，曲面是单调增加的。定理的结论是：在点 的附近曲面和 有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论是局部性的，即在点 的某个邻域内由方程 可以唯一确定一个可微的隐函数。例如：

在点(0,1)的某个邻域 内由方程 可以确定唯一的 。在点(0,-1)的某个邻域 内由方程 可确定唯一的 （3） 定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数： 在（-1，0）和（1，0）两点， ，破坏了定理中的条件（3），从而定理失效。从图中可以看出，对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值 ，将获得两个值 ：
，
唯一性条件破坏。

定理1中的方程是含有两个变量和的，对于3个变量，甚至于多个变量，也有类似的结果。
二 多变量及方程组的情形
定理2 满足：
的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；
（2）
（3） F，G关于 的Jacobi矩阵
则：（1）存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 可以确定唯一的函数： 满足：
（2） 在 内连续；
（3） 在 内有关于 和 的连续偏导数。
例： 。问：（1）由方程确定的 是关于 和 的可微函数？ （2）由方程确定的 都是关于 和 的可微函数？
例：函数 在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续，且又连续导数的函数 ？

§2 函数行列式的性质、函数相关

一 函数行列式的性质
函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用，而且在其它分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：
性质1 设函数

定义于某一 维区域 中，且有关于一切变元的连续偏导数。又设

定义于某一 维区域 中，且有关于一切变元的连续偏导数。设 的值域包含在 中。则有
。
注：这个性质可看成复合函数 求导公式 的拓广。
性质2 设函数

定义于某一 维区域 中，且有关于一切变元的连续偏导数，并且它们的反函数

存在，且有关于一切变元的连续偏导数。则有