如图，A、B、C是同一条直线上顺次的三个点，△ABP、△BCQ是 AC同侧的两个等边三角形，AQ交PB于点M，PC交BQ于点N，连接MN。求证：△BMN是等边三角形

如图，A、B、C是同一条直线上顺次的三个点，△ABP、△BCQ是 AC同侧的两个等边三角形，AQ交PB于点M，PC交BQ于点N，连接MN。求证：△BMN是等边三角形

∵ △ABP和△BQC都是等边三角形

∴ ∠ABP = ∠QBC=60

∴ ∠PBQ=180- ∠ABP - ∠QBC=60= ∠APB = ∠BQC

且 ∠PNB = ∠QNC, ∠PMA= ∠QMB

∴ △PMA ∽ △PMB, △PNC ∽ △PNB

∴ PM:MB=PA:QB=PB:QC=PN:NC

且 ∠MPN = ∠BPC

∴ △PMN ∽ △PBC

∴ ∠PNM = ∠PCB

∴ MN//AC

∴ ∠MNB = ∠NBC=60, ∠NMB = ∠MBA=60

∴ ∠MNB = ∠NMB = ∠MBN=60

∴ △BMN是等边三角形

先证直线MN与直线BC平行，再根据∠MNB=∠NBC=∠NMB=∠MBA=60°，即△BMN是等边三角形

因为△ABP、△BCQ是等边三角形

所以角MBN等于60度

BC=BQ AB=PB

因为角ABQ=角PBQ都等于120度

所以△ABQ全等于△PBC

所以∠BQM=∠BCN

又因为BC=BQ ∠CBN=∠QBM=60°

所以△CBN全等于△QBM

所以BM=BN ∠MBN=60°

所以△BNM为等边△