曲面积分，倘若积分区域曲面恰在某一平面内，则第一类曲面积分貌似只能投影在该平面？

曲面积分，倘若积分区域曲面恰在某一平面内，则第一类曲面积分貌似只能投影在该平面？

∫cos²xdx
=∫½[1+cos(2x)]dx
=∫½dx+∫½cos(2x)dx
=∫½dx+¼∫cos(2x)d(2x)
=½x+¼sin(2x) +C

解题思路：
先运用二倍角公式进行化简。
cos(2x)=2cos²x-1
则cos²x=½[1+cos(2x)]

是的，只能投影到这个坐标面

是的，在这种情况下，只能投影到这个坐标面，投影到其它坐标面是做不出来的。
因为你的dS无法计算。

我认为可以这样理解：dS=√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy，这是往xoy面投影的情形，如果平面方程是：x=0，这个函数不能计算∂z/∂x，或可理解为∂z/∂x=∞，dxdy此时不是一个区域微元，而是一条线，因此可理解为0，因此dS就变成一个无穷大与0的乘积（其实这个极限是存在的，不过这样求不出来），也就没法做了。

或再给你举个例子，中学物理中学过力的分解，那么理论上只要知道力的方向，知道力在x轴上投影的大小，那么这个力就可以求出来。但是，如果这个力是与x轴垂直，那么现在方向知道了，x方向的投影也知道是0，但是力求不出来的。

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。追问大虾讲解的很好，补充问一下：
像例一中，我取长方体x=a前面这个面（此时积分区域的表达式为x=a，0≤y≤b,0≤z≤c），若在XOY面投影，则为一条线，即dxdy=0,那么这个积分表达式中的z该如何理解？（貌似不可以将z显化成x和y的关系式啊）

同理，例二中，积分区域的表达式为x=0，0≤y≤1,0≤z≤1-y,若在XOY面投影,则被积表达式中的z该如何理解？完全不可显化成x和y的关系式啊？谢谢~

你这个上面的积分是第二类的曲面积分，是与投影有关的积分。
下面的积分是第一类的积分，是对面积的积分(不是对弧长的积分)。
第一类的积分不是与投影有关的，只与曲面的面积有关，不能用投影的方法去理解。
第一类的积分的物理意义就是已知面密度，求质量问题。因此不能投影的。
上面的话是谁说得"理论上投影在任何以平面都可"?。这句话就不对。