怎么证明调和级数是发散的

我们老师用的是
S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+.....1/(n+n)=1/2
显然不等于0,推出调和级数是发散的。
请问大家，这里是怎么推出的，没听明白，请认真解答。

方法一，直接从这个结果出发：
S2n-Sn>=1/2
对于任意n成立
则把n变成2n
S4n-S2n>=1/2成立
以次类推S8n-S4n>=1/2
S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2
把这些统统相加
S 下标2^k n >=k/2
再令k->无穷，即2^k n->无穷，则S无穷=无穷

方法二，利用极限收敛定义：
若一个数列极限存在，则其必为柯西数列
柯西数列An表示对于任意m>n
有|Am-An|->0,当m,n->无穷
此处显然永远有m=2n时，|Sm-Sn|>=1/2与Cauchy数列定义矛盾，所以发散

摘　要：数学分析在数项级数部分有一个重要级数——凋和级数，它在研究数项级数敛散陛的过程中起到了重要作用。柯两收敛准则给出了级数收敛的充分必要条件，进而又得出级数收敛，则lim/n→∞un=0的推论，它是一个必要条件，而调和级数作为此推论有力的反面证明而倍受关注。下面就调和级数发散的证明作一归纳。