从双曲线x^2-y^2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线

从双曲线x^2-y^2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线

按双曲线x^2-y^2=1来解答
Q（x1,y1) P(x,y)
Q引直线X+Y=2的垂线的直线方程为
y-y1=x-x1
解y-y1=x-x1和x^2-y^2=1,得，直线x+y=2的交点为((x1-y1+2)/2,(2-x1+y1)/2)
则中点横坐标x=(x1+(x1-y1+2)/2)/2=(3x1-y1+2)/4……（1）
y=(y1+(2-x1+y1)/2)/2=(2-x1+3y1)/4……（2）
由（1）和（2），解得
x1=(3x+y-2)/2
y1=(x+3y-2)/2
而（x1，y1）在双曲线上，代入方程x1^2-y1^2=1得
（3x+y-2)^2/4-(x+3y-2)^2/4=1

设 Q 坐标 (x0, y0)
x + y = 2 斜率为 -1
所以 与其垂直的直线 ON 斜率为 1
ON 方程为
y - y0 = x - x0
联立
y-y0 = x- x0
x + y = 2
解出 N 点坐标
x = 1 + (x0 -y0)/2
y = 1 + (y0 -x0)/2
所以 P 点坐标为
x = [1 + (x0 -y0)/2 + x0]/2 = 1 + (3x0 -y0)/2
y = 1 + (3y0 -x0)/2
转化为
3x0 -y0 = 2x -1
3y0 -x0 = 2y -1
解出
x0 = (3x + y -2)/4
y0 = (3y + x -2)/4
(x0, y0)满足双曲线方程，所以
[(3x+y-2)/4]^2 - [(3y+x-2)/4]^2 = 1
(3x+y-2)^2 - (3y+x-2)^2 = 16
[(3x+y-2) + (3y+x-2)][(3x+y-2)-(3y+x-2)] = 16
4(x+y-1)* 2(x-y) = 16
(x+y-1)(x-y) = 2
x^2 - y^2 - x + y = 2
(x -1/2)^2 - (y -1/2)^2 = 2
此为双曲线方程，其特点为
1）左右开口
2）水平方向对称轴 x = 1/2
3) 垂直方向对称轴 y = 1/2
4) 左支顶点为 x=1/2 - √2，y=1/2
5）右支顶点为 x=1/2 + √2, y=1/2
你所关心的 x的取值范围：
x ≤1/2 - √2 和 x ≥ 1/2 + √2

设P（x，y），Q（x1，y1），则N（2x-x1，2y-y1），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x1+2y-y1=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴y-y1x-x1=1，
即x-y+y1-x1=0．②
由①②得x1=
32x+
12y-1y1=
12x+
32y-1​，
又∵Q在双曲线x2-y2=1上，
∴x12-y12=1．
∴（32x+12y-1）2-（12x+32y-1）2=1．
整理，得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．
故答案为：2x2-2y2-2x+2y-1=0．