高等数学 函数极限的定义

请举例说明

f（x）是定义在（a，b）上的函数，x0是（a，b）中的一点，如果对于任意q>0,存在p>0和一个常数A,

当Ix-x0I<p时，If（x）-AI<q 我们就定义f（x）在x0有极限A

例题 f（x）=2x是定义在（-∞,+∞）上的函数，1是（-∞,+∞）中的一点，对于任意q>0，存在一个常数A=2

要使If（x）-AI<q,即I2x-2I<q，Ix-x0I=Ix-1I<q/2 取p=q/2 即可

因为对于任意q>0，存在p=q/2 >0 和一个常数A=2 当Ix-x0I=Ix-1I<p=q/2 时，

If（x）-AI=I2x-2I=2Ix-x0I=2Ix-1I<2 q/2 =q

所以 f（x）=2x在1点有极限而且极限为2

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε 那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。