矩阵A的迹等于A的秩等于1，证明A平方等于A

矩阵A的迹等于A的秩等于1，证明A平方等于A

显然A是1阶矩阵时，tr(A)=r(A)=1，则A=[1]
显然此时A^2=A=[1]

下面证明当A的阶数大于1时，有A^2=A
A的秩等于1，说明此时A只有1个非零特征值x，
而其余特征值为0（即0是n-1重特征值）
则tr(A)=x+0+0+..+0=x=1
即A的全部特征值是1,0(n-1重)
则A与对角矩阵D=diag(1,0,...,0)相似，且有可逆矩阵P，使得
P^(-1)AP=D
则A=PDP^(-1)
A^2=(PDP^(-1))^2=PD^2P^(-1)=PDP^(-1)=A
因此得证

说明(a^t) a x=0 的解 也一定是 ax=0 的解 综上设ax=0 左乘a^t （就是a的转置） 得到 (a^t) a x=0 就是说 ax=0 的解 一定是 (a^t) a x=0 的解 同理 对方程 (a^t) a x=0 左乘 x^t 得到 (ax)^t （ax）=0 因为ax 是个列向量，等于零 则有ax=0， (ax)^t（ ax）是一个数 就是它的内积，ax=0 和 (a^t) a x=0 同解 于是他们秩相等