已知点A(0,2)及椭圆x²/4+y²=1,在椭圆上求一点P使|PA|的值最大

已知点A(0,2)及椭圆x²/4+y²=1,在椭圆上求一点P使|PA|的值最大

解由椭圆x²/4+y²=1，

设椭圆上的任一点P(2cosa，sina）
故/PA/=√(2cosa-0)^2+(sina-2)^2
=√（4cos^2a+sin^2a-4sina+4）
=√（cos^2a+sin^2a+3cos^2a-4sina+4）
=√（3cos^2a-4sina+5）
=√（3（1-sin^2a）-4sina+5）
=√-3sin^2a-4sina+8
=√(-3（sina+2/3)^2+8+4/3)
=√(-3（sina+2/3)^2+28/3)
≤√(28/3)
=2√21/3.

以点a（0，2）为圆心作圆⊙a ： x^2+(y-2)^2=r^2 与椭圆 x^2/4+y^2=1，联立得

 3y^2+4y+r^2-8=0 ,------ (1)    , 当两者相切时△=0 , 即 16-12r^2+96=0   ,得  r=2√21/3 ≈3.055

即|pa|max=2√21/3  ,代入(1) 得9y^2+12y+4=0  ,得 y=-2/3 ,代入椭圆得 x=±2√5/3

即 点p ( 2√5/3 , -2/3 )  及 p ( -2√5/3 , -2/3 )