设f(x)=∫ lnt/（t+1）dt,积分上限为x，下限为1。求f(x)+f(1/x)
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解决时间 2021-02-06 06:12
- 提问者网友：黑米和小志
- 2021-02-05 16:49
设f(x)=∫ lnt/（t+1）dt,积分上限为x，下限为1。求f(x)+f(1/x)
最佳答案
- 五星知识达人网友：野味小生
- 2021-02-05 17:19
f(1/x)=∫[1,1/x]lnt/(t+1)dt, 做换元u=1/t,
f(1/x)=∫[1,x]ln(1/u)/(1+1/u)d(1/u)
=∫[1,x]ulnu/(u+1)/u??du
=∫[1,x]lnu/(u(u+1))du
所以f(x)+f(1/x)=∫[1,x](ulnu+lnu)/(u(u+1))du=∫[1,x]lnu/udu=ln??x/2
f(1/x)=∫[1,x]ln(1/u)/(1+1/u)d(1/u)
=∫[1,x]ulnu/(u+1)/u??du
=∫[1,x]lnu/(u(u+1))du
所以f(x)+f(1/x)=∫[1,x](ulnu+lnu)/(u(u+1))du=∫[1,x]lnu/udu=ln??x/2
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