在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[（A+C）/2]=√3/3

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[（A+C）/2]=√3/3

1 cos((A+C)/2)=cos((Pi-B)/2)=cos(Pi/2-B/2)=sinB/2=√3/3So cosB=1-2sin^2 (B/2)=1-2(√3/3)^2=1/32 sinB=2√2/3,sinA/a=sinB/b,b=asinB/sinA=2√2/sinA>=2√2,等号当直角三角形时取得.AB·AC=bc*cosA.设C到AB垂足为D,固定a,B,则BA方向已定.当A从B开始向D移动,并经过D继续移动的过程中,cosA从-cosB=-1/3增长到0,再继续增长,趋向于1；而c从0开始一直在增加；b先由a=3减小到垂直时的2√2,再一直增加.故AB·AC先从0开始减小到某个负数,然后再增加到0,最终趋向于无穷.为计算该负数,由余弦定理得,AB·AC=bc*cosA=（b^2+c^2-9）/2,而由正弦定理得b=2√2/sinA,c=3sinC/sinA=3sin(A+B)/sinA=3(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=1+2√2cosA/sinA.设cosA=x,则sinA=√(1-x^2),b^2+c^2=f(x)=-7+16/(1-x^2)+4√2x/√(1-x^2),求出f'(x）.令f'(x)=0,化简得8x/√(1-x^2)+√2=0,x=-1/√33,易得该点是f(x)的最小值点.f(-1/√33)=17/2,因此AB·AC=（b^2+c^2-9）/2的最小值为-1/4.故AB·AC的范围为大于或等于-1/4.

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