如图，∠ABM是直角，点c为线段BA中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE,过点E作EF⊥CE交BD于点F

求证：BF=DF

当点D在射线BC上运动时，四边形ACFE是平行四边形，求∠A度数

当点D在射线BM上运动时，线段DE上始终存在点G，满足条件DG=1/4DA，求∠A的范围

 
解：（1）在Rt△AEB中，

∵AC=BC，

∴CE= 1/2AB，

∴CB=CE，

∴∠CEB=∠CBE．

∵∠CEF=∠CBF=90°，

∴∠BEF=∠EBF，

∴EF=BF．

∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠FED=∠EDF．

∴BF=FD；

（2）由（1）BF=FD，而BC=CA，

∴CF∥AD，即AE∥CF．

若AC∥EF，则AC=EF，

∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．

∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形；

（3）解：作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB． ∵DG=

1

4

DA， ∴DH=

1

4

DB． 又F为BD中点， ∴H为DF的中点． ∴GH为DF的中垂线． ∴∠GDF=∠GFD． ∵点G在ED上， ∴∠EFD≥∠GFD． ∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°， ∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度． ∴3∠EDF≤180度． ∴∠EDF≤60度． 又∠A+∠EDF=90°， ∴30°≤∠A＜90°． ∴当30°≤∠A＜90°时， DE上存在点G，满足条件DG=

1

4

DA．