七桥问题有解决吗

七桥问题有解决吗

没有。因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有了一个判别准则：

一个可以一笔画的图形最多只能有两个点（起点和终点）与奇数条线相连。

再看图2中的四个点都是与奇数条（三条或五条）线相连的，根据这一判别准则，是不能一笔画的。

从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。

曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这一转化，就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而圆满地解决了。

七桥问题Seven Bridges Problem
著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这
座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的
中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一
个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼
斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的
问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说
是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧
拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地
点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七
座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：
这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即
：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来
了。接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点
重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出
现一些曲线的交点。欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条
弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称
为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不
能实现，这样的点又叫做“奇点”。见下图：
欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是
仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连
接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经
过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。
有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。
在这里，我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔
画”问题，那么，欧拉又是怎样完成这一转变的呢？
他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去，而仅仅留下与问题有关的东西，这就是四个几何
上的“点”；他再把桥的具体属性排除，仅留下一条几何上的“线”，然后，把“点”
与“线”结合起来，这样就实现了从客观事物到图形的转变。我们把得到“点”和“线
”的思维方法叫做抽象，把由“点”和“线”结合成图形的思维方法叫做概括。所谓抽
象就是从客观事物中排除非本质属性，透过现象抽出本质属性的思维方法。概括就是将
个别事物的本质属性结合起来的思维方法。

七桥问题
18世纪的欧洲，有一位伟大的数学家，全欧洲的科学家都以他为师表，都称自己是他的学生，他就是大数学家欧拉。
1736年，为欧拉在彼得堡担任教授时，他解决了一个有趣的“七桥问题”，这个趣题一直流传到现在，并相信它是拓朴学产生的萌芽。
当时与普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。
有一天，人们教学的时候，有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？”当时没有一个人能找到答案。
这个问题传到住在彼得堡的欧拉耳中，当然，他不会去哥尼斯堡教学，而是把问题画成一张图：小岛、河岸画成点，桥画成连结点的线，他考虑：如果能从一个点开始用笔沿线画（就像人过桥一样）笔不准离开纸（人连续走路），同一条线不准画两遍（每个桥只经过一次），所有线都画完，最后能否回到原来的出发点？这就是“一笔画”问题。
欧拉意识到他所研究的几何问题是一种新的几何学，所研究的图形与形状和大小无关，最重要的是位置怎样用弧连结，这张图就是一个网络。
欧拉为什么能抽象出这张图呢？是他利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，初一几何开始讲点、线、面，这些几何概念是从现实中抽象化和理想化而来，笔尖点在纸上是一个点。
在地图上一个城市是一个点，在欧拉眼中，岛和陆地抽象成点，马路可看成线，欧拉眼中，桥抽象成线，直线是笔直的生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
欧拉怎样解决的这个问题呢？若一个顶点发出的弧的条数为奇数时，称为奇顶点；发生的弧的条数为偶数时，称为偶顶点，一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点，分两种情况考虑：
第一种：起点和终点不是同一点，把集中在起点的所有弧画完为止，有进有出，最后一笔必须画出去，所以起点必须是奇顶点；另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止，最后一笔必须画进来，因此，终点也必须是奇顶点；其它经过的点，有几条弧画进来，必有同样多的弧画出去，必是偶顶点。
第二种：起点和终点为同一点，又画出去，又画进来，必为偶顶点，其它顶点有进有出也都是偶顶点，因此，欧位得出以下结论：
1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。
用欧拉的发现去分析七桥问题，这张图上的A、B、C、D全是奇顶点，因此，不能一笔画，所以，游人一次走遍七桥是不可能的。
看完欧拉的解法，启发我们：生活中许多问题用数学方法解决，但首先要抽象化和理想化，其中点和线的抽象又是最基本的。
参考资料：数学书

七桥问题 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。